十进制浮点数的表示方法

使用十进制浮点数,可以避免二进制浮点数与我们习惯的十进制数之间的表示误差.这个在金融领域是非常重要的.但是计算机基本都只能对二进制浮点数进行计算,也就是IEEE754格式表示的浮点数.很多程序都会自己模拟十进制浮点数的计算.为了统一,IEEE754做了扩展,包括了十进制的浮点数.

IEEE 754-2008里面规定了十进制浮点数的一些规范.不过里面没有说具体的二进制表示方法.只是规定了32位,64位,128位的十进制浮点数的表示范围和有效位数. 因为具体一个浮点数的二进制里面每个位表示啥,都是每个机器自己决定的.不需要跟外界一致.只是在传输的时候要保证数据的精度和范围一致就行了.下表来自wikipedia,列出了每种浮点数的有效位数,指数的范围.

  

Name	Common name	Base	Digits	E min	E max
binary16	Half precision	2	10+1	-14	15
binary32	Single precision	2	23+1	-126	127
binary64	Double precision	2	52+1	-1022	1023
binary128	Quadruple precision	2	112+1	-16382	16383
decimal32		10	7	-95	96
decimal64		10	16	-383	384
decimal128		10	34	-6143	6144

 

实际的系统中,十进制浮点数有两种表示方法,分别是Densely Packed Decimal(密集十进制数)和Binary Integer Decimal(二进制整数表示的十进制数).

DPD表示方便转换成十进制的浮点数字符串,但是需要专门的计算单元来做计算,软件模拟比较麻烦.

而BID表示更直观,转换到二进制会比较容易.很方便用二进制的整数运算单元来计算.

 

所以Power6上有了硬件的十进制浮点计算单元,就用DPD表示.而在x86 x64 cpu上没有十进制计算单元, 各种软件实现的十进制浮点库默认大都用BID方式表示.比如Intel就实现了一个开源的c 语言的十进制浮点数库。

 

十进制浮点的意义，在于更符合人们的习惯，比如下面的例子

#include<stdio.h>
 int main()
 {
     double a = 7.0;
     double b = 0.00007;
     printf("%d/n",a==b*100000);
 }

正确的输出应该是1，但是实际的输出结果是0，在做相等比较的时候，还不得不考虑一下这个误差了。而某些时候误差会在计算过程中累计，变成比较明显的错误了。

如果用intel的十进制浮点库赖做这个计算，结果就会不同了。intel这个库明显还在试验阶段，用起来比较麻烦。

int main()
 {
     Decimal64 a, b, c;
     _IDEC_round my_rnd_mode = _IDEC_dflround;
     _IDEC_flags my_fpsf = _IDEC_allflagsclear;
     a = bid64_from_int32(7);
    b = bid64_from_string("0.00007",my_rnd_mode, &my_fpsf);
     c = bid64_mul(b,bid64_from_int32(100000),my_rnd_mode,&my_fpsf);
    printf("%d/n",bid64_quiet_equal(a,c,&my_fpsf));
     return 0;
 }

使用和double位数相同的Decimal64，结果就是1了。这里显然不是精度的问题，而是十进制浮点数能丝毫不变的表示十进制的小数。

我们可以看到这里使用的是BID的表示方法。函数名前面都带个bid前缀。

接下来，我们来具体看看BID的表示方法，我们可以把刚才程序中的a和c按照十六进制输出

    printf("%llx/n%llx/n",a,c);

结果是

31c0000000000007
31200000000aae60

可见，两个相等的十进制浮点数的BID表示不一定是相同的。也就是说，一个数有多种表示方法。

a的表示里，最低位的16进制数就是7，而c的表示里，最低的5位15进制数aae60，其实就是十进制的700000。看来这后面的就是有效数字部分了。查一下BID的表示方法，还是比较复杂的，有6种情况。最高位是符号位，这里当然是0.符号位后面的两位是00，01，或10时，64位BID每个位的意义是这样的，s后面的2位和之后的8位是指数部分，之后53位T和t都是有效数字部分

s 00eeeeeeee TTTtttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
s 01eeeeeeee TTTtttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
s 10eeeeeeee TTTtttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
而如果符号位后面的两位是11，那么每一位的意义是
s 11 00eeeeeeee (100)Ttttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
s 11 01eeeeeeee (100)Ttttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
s 11 10eeeeeeee (100)Ttttttttttttttttttttt tttttttttttttttttttttttttttttt
这时，有效数字前面就加了隐含的100.
这个BID表示的数的值就是 (-1)^S *T*10^(E-398) ,其中T 是实际的有效数字（就是说如果有隐含的100需要加上后计算），E是指数，T，E都是2进制表示的
还是回到我们的例子
a的二进制数
0 0110001110 00000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000111
指数部分就是0110001110，也就是398，所以a就是 7*10^(398-398) ,也就是7

而c的二进制是
0 0110001001 00000 00000000 00000000 00000000 00001010 10101110 01100000
指数部分是 0110001001，也就是393， 所以c的值是 700000*10^(393-398)， 还是7.
这就能看明白为啥同样是7，二进制表示却不同。这也是十进制浮点和二进制浮点一个不同之处，十进制浮点没有规定一定要是哪一种表示。这也给相等比较带来了一点麻烦。

 

power6 里面内置了十进制浮点计算单元，而power6上面的编译器也就支持了内置的十进制浮点类型。前面已经说了，power上面的十进制浮点才用的是DPD表示方法。还是看个程序吧。下面这个程序在一个使用Power6的P520机器上，操作系统是AIX5.3 ML6， 用xlc 10.2编译。_Decimal64就是64位的十进制浮点。

int main(int argc, char **argv)
{
long i, count;
double dfund, dinterest;
_Decimal64 Dfund, Dinterest; /* 定义十进制浮点类型的变量*/
 long long value;
 union trans{
  _Decimal64 dv;
  int av[2];
 } transTemp;
 dfund = atof(argv[1]);
 dinterest = atof(argv[2]);
 Dfund = atodecimal(argv[1]);
 Dinterest = atodecimal(argv[2]);
 count = atoi(argv[3]);
/*下面把_Decimal64 类型的Dinterest转换成两个int，然后按照十六进制格式显示*/
 transTemp.dv = Dinterest;
 printf("value=%#x,%#x/n",transTemp.av[0],transTemp.av[1]);
 printf("double  fund=%20.10f interest=%40.30f/n",dfund,dinterest);
 printf("Decimal fund=%20.10Df interest=%40.30Df/n",Dfund,Dinterest); /* printing them with the new printf specifiers */
 for(i=0;i<count;i++) {
         dfund=dfund*dinterest;
         Dfund=Dfund*Dinterest; /* performing maths */
 }
 printf("Print final funds/n");
 printf("double  fund=%30.10f/n",dfund);
 printf("Decimal fund=%30.10Df/n",Dfund);
}

其中 atodecimal是自己写的一个帮助函数

_Decimal64 atodecimal(char *s)
{
_Decimal64 top=0, bot=0, result;
int negative=0, i;
        if( s[0] == '-') {
                negative=1;
                s++;
        }
        if( s[0] == '+') s++;
         for(; isdigit(*s); s++) {
                top = top * 10;
                top = top + *s - '0';
        }
        if(*s == '.') {
                s++;
                for(i=strlen(s)-1; isdigit(s[i]);i--) {
                        bot = bot / 10;
                        bot = bot + (_Decimal64)(s[i] - '0')/(_Decimal64)10;
                }
        }
        result = top + bot;
        if(negative)
                result = -result;
        return result;
}

这个程序用xlc 10.2编译时，跟上参数表示使用硬件十进制浮点。不过这样会导致编译出来的可执行文件在power5以前的cpu上无法运行。

运行的时候输入参数 ./dfp_hw 1 1.00000091 6000000

dfp_hw是程序的名字，1就是程序里面的 fund，1.00000091是interest，也就是利息，6000000是count，输出结果：

value=0x22180000,0x800001b
double  fund=        1.0000000000 interest=        1.000000910000000020616539586630
Decimal fund=        1.0000000000 interest=        1.000000910000000000000000000000
Print final funds
double  fund=                235.0968403429
Decimal fund=                235.0968403137

可以看到用double存储利息，再输出，就不再是1.00000091了，后面有一点误差。而用_Decimal64存储输入结果，再输出，是一点误差都没有。

然后把interest乘6000000次，也就是1.0000091的6000000次方，输出的结果误差就比较明显了。用windows自带的计算器可以验证，_Decimal64的结果是正确的。

现在来看看1.00000091的二进制表示。也就是0x22180000,0x800001b，注意这里这个power机器是大端的，所以前面以前是高4字节，后面是低4字节。连起来看，就是0x22180000 0800001b也就是

00100010 00011000 00000000 00000000 00001000 00000000 00000000 00011011

DPD表示方法也比较复杂，从高位开始看，第一位还是符号位0，DPD的规定如果符号位后面的两位是00，01，或者10，那么每一位的意义如下

s 00 mmm (00)eeeeeeee (mmm)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
s 01 mmm (01)eeeeeeee (mmm)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
s 10 mmm (10)eeeeeeee (mmm)[tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt][tttttttttt]
其中，e是指数，e的表示方法跟前面的BID方式很像。t和m是有效数字，其中，每10位t组成一个declet，表示一个3位的十进制数。m实际的位置是在第4位到第6位，但是它逻辑上的位置是在那些t前面，所以用()表示放到e的后面。

因为2的10次方是1024，刚好能表示10的3次方。但是表示起来还是需要点技巧的，declet表示三位十进制数的规则比较复杂，这也是这个表示方法叫Densely Packed Decimal(密集十进制数)的原因。下表是编码的方式。b9-b0代表10个二进制数，d2 d1 d0代表3个十进制数。

 

b9

b8

b7

b6

b5

b4

b3

b2

b1

b0

d2

d1

d0

编码值

数位的模式

a

b

c

d

e

f

0

g

h

i

0abc

0def

0ghi

(0–7) (0–7) (0–7)

3位小数字

a

b

c

d

e

f

1

0

0

i

0abc

0def

100i

(0–7) (0–7) (8–9)

两位小数字，一位大数字

a

b

c

d

e

f

1

0

1

i

0abc

100f

0dei

(0–7) (8–9) (0–7)

a

b

c

d

e

f

1

1

0

i

100c

0def

0abi

(8–9) (0–7) (0–7)

a

b

c

1

0

f

1

1

1

i

0abc

100f

100i

(0–7) (8–9) (8–9)

一位小数字，两位大数字

a

b

c

0

1

f

1

1

1

i

100c

0abf

100i

(8–9) (0–7) (8–9)

a

b

c

0

0

f

1

1

1

i

100c

100f

0abi

(8–9) (8–9) (0–7)

x

x

c

1

1

f

1

1

1

i

100c

100f

100i

(8–9) (8–9) (8–9)

三位大数字

 

就我们的例子来看一下，最低的10位是0000011011，看b3b2b1，这里是101，所以就是上表第3行的情况，三位数字就是 (0000)(1001)(0001)也就是091，然后看从低位数的第3个10位二进制数，也就是00100000000，这显然是第一种情况，也就是100，连起来就是100000091，指数部分是390，那么这个十进制的值就是 10^(390-398)*100000091 = 1.00000091.

通过这个简单的例子，就应该对DPD方式的十进制浮点表示方式有个大概的了解了。这个方式算起来比较麻烦，所以除非有硬件支持，软件模拟的方式都不会使用的，但是DPD转换成十进制浮点的字符串表示就会很方便。