哈希表与哈希函数

　　哈希查找因使用哈希 (Hash) 函数而得名，哈希函数又叫散列函数，它是一种能把关键字映射成记录存贮地址的函数。
一.哈希表
①它是一种能把关键字映射成记录存贮地址的函数。
②假定数组 HT[0 ～ m-1] 为存贮记录的地址空间， m 为表长，哈希函数 H 以记录的关键字 K 为自变量，计算出对应的函数值 H(K) ，并以它作为关键字 K 所标识的记录在表 HT 中的 ( 相对 ) 地址或索引号，这样产生的记录表 HT 叫做对应于哈希函数 H 的哈希表。
③简言之，在哈希表中，关键字为 K 的记录，存贮在 HT[H(K)] 位置。
④哈希函数值 H(K) 称为 K 的哈希地址或散列地址。

二．构造哈希表
　　构造哈希函数的方法很多，这里只介绍一些常用的，计算简便的方法。
1.平方取中法
　　算出关键字值的平方，再取其中若干位作为哈希函数值 ( 散列地址 ) 。
【例】假定表中各关键字是由字母组成的，用二位数字的整数 01 ～ 26 表示对应的 26 个英文字母在计算机中的内部编码，则使用平方取中法计算 KEYA ， KEYB ， AKEY ， BKEY 的散列地址可得：
关键字 K     K 的内部编码            K ²           H(K)
 KEYA         11052501       122157778355001      778
 KEYB         11052502       122157800460004      800
 AKEY         01110525       001233265775625      265
 BKEY         02110525       004454315775625      315
平方之后，取左起第 7 ～ 9 位作为散列地址。

2.除留余数法
    这种方法是用模运算 (%) 得到的。设给出的关键字值为 K ，存储区单元数为 m ，则用一个小于 m 的质数 P 去除 K ，得到的余数为 R ，即： R ＝ K % P 。如果 R 落在存储区地址范围内，则 R 就取为哈希函数值 ( 散列地址 ) ；否则，再用一个线性数求出哈希函数值。
【例】有一组关键字从 000001 到 859999 ，指定的存储区地址为 1000000 ～ 1005999 ，即 m ＝ 6000 ，可选 P ＝ 599 ，若要转换关键字 K ＝ 172148 ，则有：
                R ＝ 172148 % 599 ＝ 4176
因 R 不在指定的地址范围内，所以，取哈希函数为：
                  H(K) ＝ 1000000 ＋ R
故有：
                H(K) ＝ H(172148) ＝ 1004176
这样就把关键字 K 直接转换成存储地址了。

三．可能产生的冲突：

（1）冲突
    　不同的关键字值，具有相同的哈希地址，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。
  　【例】上图中的k₂≠k₅，但h(k₂)=h(k₅)，故k₂和K₅所在的结点的存储地址相同。

（2）安全避免冲突的条件
    如何避免冲突发生，则取决于哈希函数的构造。
    使散列地址均匀地分布在哈希表的整个地址区间内，这样可以避免或减少发生冲突。
    哈希函数的构造，与关键字的长度、哈希表的大小、关键字的实际取值状况等许多因素有关，而且有的因素事前不能确定。所以，避免冲突这并非是件容易做到的事。
（3）冲突不可能完全避免
    　由于关键字的值域往往比哈希表的个数大的多，所以哈希函数是一种压缩映射，碰撞是难免的。
   【例】存贮 100 个学生记录，尽管安排 120 个地址空间，但由于学生名 ( 假设不超过 10 个英文字母 ) 的理论个数超过 2610 ，要找到一个哈希函数把 100 个任意的学生名映射成 [0 ， 119] 内的不同整数，实际上是不可能的。
   注意：问题在于一旦发生了冲突应如何处理。

四．解决冲突的主要方法
　　虽然我们不希望发生冲突，但实际上发生冲突的可能性仍是存在的。当关键字值域远大于哈希表的长度，而且事先并不知道关键字的具体取值时。冲突就难免会发生。另外，当关键字的实际取值大于哈希表的长度时，而且表中已装满了记录，如果插入一个新记录，不仅发生冲突，而且还会发生溢出。因此，处理冲突和溢出是哈希技术中的两个重要问题。
1、开放定址法
    　用开放定址法解决冲突的做法是：当冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找到给定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空)为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表中无待查的关键字，即查找失败。
  注意：
 ①用开放定址法建立散列表时，建表前须将表中所有单元(更严格地说，是指单元中存储的关键字)置空。
 ②空单元的表示与具体的应用相关。
    　按照形成探查序列的方法不同，可将开放定址法区分为线性探查法、线性补偿探测法、随机探测等。
（1）线性探查法(Linear Probing)
该方法的基本思想是：
　    将散列表T[0..m-1]看成是一个循环向量，若初始探查的地址为d(即h(key)=d)，则最长的探查序列为：
        d，d+l，d+2，…，m-1，0，1，…，d-1
    　即:探查时从地址d开始，首先探查T[d]，然后依次探查T[d+1]，…，直到T[m-1]，此后又循环到T[0]，T[1]，…，直到探查到T[d-1]为止。
探查过程终止于三种情况：
    　(1)若当前探查的单元为空，则表示查找失败（若是插入则将key写入其中）；
　    (2)若当前探查的单元中含有key，则查找成功，但对于插入意味着失败；
    　(3)若探查到T[d-1]时仍未发现空单元也未找到key，则无论是查找还是插入均意味着失败(此时表满)。
利用开放地址法的一般形式，线性探查法的探查序列为：
        h_i=(h(key)+i)％m 0≤i≤m-1 //即d_i=i
用线性探测法处理冲突，思路清晰，算法简单，但存在下列缺点：
　　① 处理溢出需另编程序。一般可另外设立一个溢出表，专门用来存放上述哈希表中放不下的记录。此溢出表最简单的结构是顺序表，查找方法可用顺序查找。
　　② 按上述算法建立起来的哈希表，删除工作非常困难。假如要从哈希表 HT 中删除一个记录，按理应将这个记录所在位置置为空，但我们不能这样做，而只能标上已被删除的标记，否则，将会影响以后的查找。
　　③ 线性探测法很容易产生堆聚现象。所谓堆聚现象，就是存入哈希表的记录在表中连成一片。按照线性探测法处理冲突，如果生成哈希地址的连续序列愈长 ( 即不同关键字值的哈希地址相邻在一起愈长 ) ，则当新的记录加入该表时，与这个序列发生冲突的可能性愈大。因此，哈希地址的较长连续序列比较短连续序列生长得快，这就意味着，一旦出现堆聚 ( 伴随着冲突 ) ，就将引起进一步的堆聚。

（2）线性补偿探测法
线性补偿探测法的基本思想是：
　　将线性探测的步长从 1 改为 Q ，即将上述算法中的 j ＝ (j ＋ 1) % m 改为： j ＝ (j ＋ Q) % m ，而且要求 Q 与 m 是互质的，以便能探测到哈希表中的所有单元。
【例】 PDP-11 小型计算机中的汇编程序所用的符合表，就采用此方法来解决冲突，所用表长 m ＝ 1321 ，选用 Q ＝ 25 。

（3）随机探测
随机探测的基本思想是：
　　将线性探测的步长从常数改为随机数，即令： j ＝ (j ＋ RN) % m ，其中 RN 是一个随机数。在实际程序中应预先用随机数发生器产生一个随机序列，将此序列作为依次探测的步长。这样就能使不同的关键字具有不同的探测次序，从而可以避免或减少堆聚。基于与线性探测法相同的理由，在线性补偿探测法和随机探测法中，删除一个记录后也要打上删除标记。
2、拉链法
（1）拉链法解决冲突的方法
    　拉链法解决冲突的做法是：将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中。若选定的散列表长度为m，则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数组T[0..m-1]。凡是散列地址为i的结点，均插入到以T[i]为头指针的单链表中。T中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中，装填因子α可以大于1，但一般均取α≤1。

（2）拉链法的优点
与开放定址法相比，拉链法有如下几个优点：
　　①拉链法处理冲突简单，且无堆积现象，即非同义词决不会发生冲突，因此平均查找长度较短；
　　②由于拉链法中各链表上的结点空间是动态申请的，故它更适合于造表前无法确定表长的情况；
　　③开放定址法为减少冲突，要求装填因子α较小，故当结点规模较大时会浪费很多空间。而拉链法中可取α≥1，且结点较大时，拉链法中增加的指针域可忽略不计，因此节省空间；
　　④在用拉链法构造的散列表中，删除结点的操作易于实现。只要简单地删去链表上相应的结点即可。而对开放地址法构造的散列表，删除结点不能简单地将被删结点的空间置为空，否则将截断在它之后填人散列表的同义词结点的查找路径。这是因为各种开放地址法中，空地址单元(即开放地址)都是查找失败的条件。因此在用开放地址法处理冲突的散列表上执行删除操作，只能在被删结点上做删除标记，而不能真正删除结点。

（3）拉链法的缺点
    　拉链法的缺点是：指针需要额外的空间，故当结点规模较小时，开放定址法较为节省空间，而若将节省的指针空间用来扩大散列表的规模，可使装填因子变小，这又减少了开放定址法中的冲突，从而提高平均查找速度。