编程之美2.18——数组分割

来自：http://blog.csdn.net/linyunzju/article/details/7729774

问题：

1. 有一个无序、元素个数为2n的正整数数组，要求：如何能把这个数组分割为两个子数组，子数组的元素个数不限，并使两个子数组之和最接近。

2. 有一个无序、元素个数为2n的正整数数组，要求：如何能把这个数组分割为元素个数为n的两个数组，并使两个子数组之和最接近。

1. 解法1：

由于对两个子数组和最接近的判断不太直观，我们需要对题目进行适当转化。我们知道当一个子数组之和最接近原数组之和sum的一半时，两个子数组之和是最接近的。所以转化后的题目是：从2n个数中选出任意个数，其和尽量接近于给定值sum/2。

这个问题存储的是从前k个数中选取任意个数，且其和为s的取法是否存在dp[k][s]。之所以将选出的数之和放在下标中，而不是作为dp[k]的值，是因为那种做法不满足动态规划的前提——最优化原理，假设我们找到最优解有k个数p1p2...pk（选出的这k个数之和是最接近sum/2的），但最优解的前k-1个数p1p2...pk-1之和可能并不是最接近sum/2的，也就是说可能在访问到pk之前有另一组数q1q2....qk-1其和相比p1p2...pk-1之和会更接近sum/2，即最优解的子问题并不是最优的，所以不满足最优化原理。因此我们需要将dp[k]的值作为下标存储起来，将这个最优问题转化为判定问题，用带动态规划的思想的递推法来解。

外阶段：在前k1个数中进行选择，k1=1,2...2*n。
内阶段：从这k1个数中任意选出k2个数，k2=1,2...k1。

状态：这k2个数的和为s，s=1,2...sum/2。

决策：决定这k2个数的和有两种决策，一个是这k2个数中包含第k1个数，另一个是不包含第k1个数。

dp[k][s]表示从前k个数中取任意个数，且这些数之和为s的取法是否存在。

#include
#include

using namespace std;

#define MAXN 101
#define MAXSUM 100000
int A[MAXN];
bool dp[MAXN][MAXSUM];

// dp[k][s]表示从前k个数中去任意个数，且这些数之和为s的取法是否存在
int main()
{
    int n, i, k1, k2, s, u;
    cin >> n;
    for (i=1; i<=2*n; i++)
        cin >> A[i];
    int sum = 0;
    for (i=1; i<=2*n; i++)
        sum += A[i];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=true;
    // 外阶段k1表示第k1个数，内阶段k2表示选取数的个数
    for (k1=1; k1<=2*n; k1++)            // 外阶段k1
    {
        for (k2=k1; k2>=1; k2--)     // 内阶段k2
            for (s=1; s<=sum/2; s++) // 状态s
            {
                //dp[k1][s] = dp[k1-1][s];
                // 有两个决策包含或不包含元素k1
                if (s>=A[k1] && dp[k2-1][s-A[k1]])
                    dp[k2][s] = true;
            }
    }
    // 之前的dp[k][s]表示从前k个数中取任意k个数，经过下面的步骤后
    // 即表示从前k个数中取任意个数
    for (k1=2; k1<=2*n; k1++)
        for (s=1; s<=sum/2; s++)
            if (dp[k1-1][s]) dp[k1][s]=true;
    // 确定最接近的给定值sum/2的和
    for (s=sum/2; s>=1 && !dp[2*n][s]; s--);
    printf("the differece between two sub array is %d\n", sum-2*s);
}

解法2：

由于题目不限制子数组的元素个数，限制条件少，可以进行优化。实际上解法1的思路主要是为了题目2做铺垫，使得题目2的解法不至于太难理解。该题实际上有更简单的解法，该解法的思路和0-1背包问题的思路是一样的。

#include
using namespace std;

#define MAXN 101
#define MAXSUM 100000
int A[MAXN];
bool dp[MAXN][MAXSUM];

// dp[k][s]表示从前k个数中取任意个数，且这些数之和为s的取法是否存在
int main()
{
    int k, s, u, i, n;
    cin >> n;
    for (i=1; i<=2*n; ++i)
        cin >> A[i];
    int sum = 0;
    for (i=1; i<=2*n; ++i)
        sum += A[i];
    dp[0][0] = true;
    // 阶段k表示第k个数
    for (k=1; k<=2*n; ++k)
        // 注意状态可取0
        for (s=0; s<=(sum>>1); ++s)
        {
            // 加上第k个数,或不加它所能得到的和
            if (s>=A[k])
                dp[k][s] = dp[k-1][s-A[k]] || dp[k-1][s];
            else
                dp[k][s] = dp[k-1][s];
        }
    for (s=(sum>>1); s>=1 && !dp[2*n][s]; --s);
    cout << sum-2*s;
}

2. 解法：

但本题还增加了一个限制条件，即选出的物体数必须为n，这个条件限制了内阶段k2的取值范围，并且dp[k][s]的含义也发生变化。这里的dp[k][s]表示从前k个数中取k个数，且k不超过n，且这些数之和为s的取法是否存在。

#include
#include

using namespace std;

#define MAXN 101
#define MAXSUM 100000
int A[MAXN];
bool dp[MAXN][MAXSUM];

// 题目可转换为从2n个数中选出n个数，其和尽量接近于给定值sum/2
int main()
{
    int n, i, k1, k2, s, u;
    cin >> n;
    for (i=1; i<=2*n; i++)
        cin >> A[i];
    int sum = 0;
    for (i=1; i<=2*n; i++)
        sum += A[i];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=true;
    // 对于dp[k][s]要进行u次决策，由于阶段k的选择受到决策的限制，
    // 这里决策选择不允许重复，但阶段可以重复，比较特别
    for (k1=1; k1<=2*n; k1++)                // 外阶段k1
        for (k2=min(k1,n); k2>=1; k2--)      // 内阶段k2
            for (s=1; s<=sum/2; s++) // 状态s
                // 有两个决策包含或不包含元素k1
                if (s>=A[k1] && dp[k2-1][s-A[k1]])
                    dp[k2][s] = true;
    // 确定最接近的给定值sum/2的和
    for (s=sum/2; s>=1 && !dp[n][s]; s--);
    printf("the differece between two sub array is %d\n", sum-2*s);
}