动态规划(1)基本入门

动态规划(Dynamic Programming，简称DP)是通过组合子问题的解来解决问题的。

注意这里的programming不是指编程，而是指一种规划。

因为DP用的太广泛了，并且书上也花了很大的篇幅来讲这一章，所以我也准备把这一章分几篇来总结，并且我不按照书上的顺序来总结，也不会全部用书上的例子。

这一章首先给出一些基础的概念，然后给出一个最基础入门的DP问题，三角形求值问题。

DP适用于子问题不是独立的情况，这样如果用分治法，也会作许多重复的工作，而DP只对子问题求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算的情况。

比较分治法于动态规划的区别：

分治法：将问题划分为一些独立的子问题，递归的求解各子问题，然后合并子问题的解而得到原问题的解。

eg.

MERGE-SORT(A, p, r) 1 if p < r 2 then q ← |(p + r)/2| 3 MERGE-SORT(A, p, q) 4 MERGE-SORT(A, q + 1, r) 5 MERGE(A, p, q, r)动态规划：适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题，鉴于会重复的求解各子问题，DP对每个问题只求解一遍，将其保存在一张表中，从而避免重复计算。

DP算法的设计可以分为四个步骤：

①.描述最优解的结构。

②.递归定义最优解的值。

③.按自底而上的方式计算最优解的值。

④.由计算出的结果创造一个最优解。

下面来看看三角形求值这个问题：

将一个由N行数字组成的三角形，如图所以，设计一个算法，计算出三角形的由顶至底的一条路径，使该路径经过的数字总和最大。

这是在我见过的DP题目中，算是最简单的了，我相信就算没有学过DP的也会。

将上图转化一下：

假设上图用map[][]数组保存。

令f[i][j]表示从顶点(1, 1)到顶点(i, j)的最大值。

则可以得到状态转移方程：

f[i][j] = max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + map[i][j]

此题既适合自顶而下的方法做，也适合自底而上的方法，

当用自顶而下的方法做时，最后要在在最后一列数中找出最大值，

以下代码采用自底而上的方法做：

而用自底而上的方法做时，f[1][1]即为最大值。

所以我们将图2根据状态转移方程可以得到图3：

最大值是30.

/*
Author: Tanky Woo
Blog:   www.WuTianQi.com
Description: 动态规划之三角形求值问题
*/
#include <iostream>
using namespace std;

int map[6][6] =
{
    {0, 0, 0, 0, 0, 0},
    {0, 7, 0, 0, 0, 0},
    {0, 3, 8, 0, 0, 0},
    {0, 8, 1, 0, 0, 0},
    {0, 2, 7, 4, 4, 0},
    {0, 4, 5, 2, 6, 5}
};

int f[6][6];

int _max(int a, int b)
{
    if(a >= b)
        return a;
    return b;
}

int main()
{
    memset(f, 0, sizeof(f));
    for(int i=0; i<6; ++i)
        f[5][i] = map[5][i];
    for(int i=4; i>=1; --i)
        for(int j=1; j<=i; ++j)
            f[i][j] = _max(f[i+1][j], f[i+1][j+1]) + map[i][j];
    for(int i=1; i<=5; ++i)
    {
        for(int j=1; j<=5; ++j)
        {
            cout.width(2);
            cout << f[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << f[1][1] << endl;

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