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分类: C/C++

2013-08-18 09:44:09


    为了更好的了解贝叶斯定理以及相关的应用,特地找来三篇文章进行学习,以下是文章的链接,感谢原作者:
    http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_one.html
    
    
贝叶斯推断及其互联网应用
    
   
一、什么是贝叶斯推断
    贝叶斯推断是一种统计学方法,用来估计统计量的某种性质。
    它是贝叶斯定理的应用。英国数学家托马斯贝叶斯在1793年发表的一篇论文中,首先提出了这个定理。
  
    贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上,也就是说,你可以不需要客观证据,先估计一个值,然后根据实际结果不断的修正。正是因为它的主观性太强,曾经遭到许多统计学家的诟病。
    贝叶斯推断需要大量的计算,因此历史上很长一段时间,无法得到广泛应用。只有在计算机诞生之后,它才获得真正的重视。人们发现,许多统计量是无法事先进行客观判断的,而互联网时代出现的大型数据集,再加上高速运算能力,为验证这些统计量提供了方便,也为应用贝叶斯推断创造了条件,它的威力正在日益显现。

二、贝叶斯定理
    要理解贝叶斯推断,必须先了解贝叶斯定理。后者实际上就是计算”条件概率“的公式。
    所谓”条件概率“,就是指在时间B发生的情况下,事件A发生的概率,用P(A|B)来表示。
    
    根据文氏图,可以很清楚的看到在事件B发生的情况下,事件A发生的概率就是P(AB)除以P(B)。
    
    因此,
    
    所以,
    
    即
    
    这就是条件概率的计算公式。

三、全概率公式
    由于后面要用到,所以除了条件概率值之外,这里还要推导全概率公式。
    假定样本空间S,是两个事件A和A'的和。
    
    上图中,红色部分是事件A,绿色部分是事件A',它们共同构成了样本空间S。
    在这种情况下,事件B可以划分为两个部分。
    
    即
    
    在上一节的推导当中,我们已知
    
    所以,
    
    这就是全概率公式。它的含义是:如果A和A‘构成样本空间的一个划分,那么事件B的概率,就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
    将这个公式代入上一节的条件概率公式,就得到了条件概率的另一种写法:
    

四、贝叶斯推断的含义
    对条件概率公式进行变形,可以得到如下形式:
    
    我们把P(A)称为”先验概率“,即在B事件发生之前,我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为”后验概率“,即在事件B发生之后,我们队A事件的重新评估。P(B|A)/P(B)称为”可能性函数“,这是一个调整因子,使得预估概率更接近真实概率。
    所以,条件概率可以理解为下面的式子:
    
    这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个”先验概率“,然后加入实验结果,看这个实验到底是增强还是消弱了”先验概率“,由此得到更接近事实的”后验概率“。
    在这里,如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)>1,意味着”先验概率“增强,事件A的发生的可能性变大;如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)=1,意味着B事件无助于事件A的可能性;如果”可能性函数“P(B|A)/P(B)<1,意味着”先验概率“被消弱,事件A发生的可能性变小。
    
五、【例子】水果糖问题
    为了加深对贝叶斯推断的理解,我们看下面两个例子。
    
   
    两个一模一样的碗,一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖,二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗,从中摸出一颗糖,发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大?
    我们假定,H1表示一号碗,H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的,所以P(H1)=P(H2),也就是说,再取出水果糖之前,这两个碗被选中的概率相同。因此,P(H1)=0.5,我们把这个概率叫做”先验概率“,即没有做实验之前,来自一号碗的概率是0.5。
    再假定,E表示水果糖,所以问题就变成了在已知E的情况下,来自一号碗的概率有多少?即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做”后验概率“,即在事件E发生之后,对P(H1)的修正。
    根据条件概率公式,得到:
    
    已知,P(H1)等于0.5,P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率,等于0.75,那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式:
    
    
    所以,将数字代入原方程,得到
    
    这表明,来自一号碗的概率是0.6。也就是说,取出水果糖之后,H1事件的可能性得到了增强。

六、【例子】假阳性问题
    第二个例子是一个医学的常见问题,与现实生活关系密切。
    
   
     已知某种疾病的发病率是0.001,即1000人中会有1个人得病。现有一种试剂可以检验患者是否得病,它的准确率是0.99,即在患者确实得病的情况下,它有99%的可能呈现阳性。它的误报率是5%,即在患者没有得病的情况下,它有5%的可能呈现阳性。现有一个病人的检验结果为阳性,请问他确实得病的可能性有多大?
    假定A事件表示得病,那么P(A)为0.001。这就是"先验概率",即没有做试验之前,我们预计的发病率。再假定B事件表示阳性,那么要计算的就是P(A|B)。这就是"后验概率",即做了试验以后,对发病率的估计。
    根据条件概率公式,
    
    用全概率公式改写分母:
    
    将数字代入,
    
    我们得到一个惊人的结果,P(A|B)约等于0.019。也就是说,即使检验呈现阳性,病人得病的概率:也只从0.1%增加到了2%左右。这就是所谓的“假阳性”,即阳性结果完全不足以说明病人得病。
    为什么会这样?为什么这种检验的准确率高达99%,但是可信度却不到2%?答案是与它的误报率太高和发病率低有关。


    最后,再次感谢作者。





























  
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给主人留下些什么吧!~~

骑马闯青楼2015-04-18 22:23:46

骑马闯青楼:原理出处在这里啊

阮一峰的看不到公式了

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骑马闯青楼2015-04-18 22:22:09

原理出处在这里啊