贝叶斯推断及其互联网应用（二）：过滤垃圾邮件

    有关贝叶斯原理的讲解， 请查看这里。这里讲述的是通过贝叶斯推断如何过滤垃圾邮件。

贝叶斯推断及其互联网应用
    
    （接上文）

七、什么是贝叶斯过滤器？
    垃圾邮件是一种令人头痛的顽症，困扰着所有的互联网用户。
    正确识别垃圾邮件的技术难度非常大。传统的垃圾邮件过滤方法，主要有“关键词法”和“校验码法”等。前者的过滤依据是特定的词语；后者则是计算邮件文本的效验码，再与已知的垃圾邮件进行对比。它们的识别效果都不理想，而且很容易规避。
    2002年，Paul Graham提出使用“贝叶斯推断”过滤垃圾邮件。他说，这样做的效果，好得不可思议。1000封垃圾邮件可以过滤掉995封，且没有一个误判。
    另外，这种过滤器还具有自我学习的功能，会根据新收到的邮件，不断调整。收到的垃圾邮件越多，它的准确率越高。

八、建立历史资料库
    贝叶斯过滤器是一种统计学过滤器，建立在已有的统计结果之上。所以，我们必须预先提供两组已经识别好的邮件，一组是正常邮件，另一组是垃圾邮件。
    我们用这两组邮件，对过滤器进行“训练”。这两组邮件的规模越大，训练效果就越好。Paul Graham使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各4000封。
    “训练”过程很简单。首先，解析所有的邮件，提取每一个词。然后，计算每个词语在正常邮件和垃圾邮件中出现的频率。比如，我们假定“sex”这个词，在4000封垃圾邮件中，有200封包含这个词，那么它的出现频率就是5%；而在4000封正常邮件中，只有2封包含这个词，那么出现频率就是0.05%。（【注释】如果某个词   只出现   在垃圾邮件中，Paul Graham就假定，它在正常邮件的出现频率是1%（经验值，可以根据新收的邮件不断调整），反之亦然。这样做是为了避免概率为0。随着邮件数量的增多，计算结果会自动调整。）
    有了这个初步的统计结果，过滤器就可以投入使用了。

九、贝叶斯过滤器的使用过程
    现在，我们收到了一封信邮件。在未统计分析之前， 我们假定它是垃圾邮件的概率为50%。（【注释】有研究表明，用户收到的电子邮件中，80%是垃圾邮件。但是，这里仍然假定垃圾邮件的“先验概率”为50%。）
    我们用S表示垃圾邮件（spam），H表示正常邮件（healthy）。因此，P(S)和P(H)的先验概率，均为50%。
    
    然后，对这封邮件进行解析，发现其中包含了sex这个词，请问这封邮件属于垃圾邮件的概率有多高？
    我们用W表示“sex”这个词，那么问题就变成了如何计算P(S|W)的值，即在某个词语（W)已经存在的情况下，垃圾邮件（S）的概率有多大。
    根据条件概率公式，马上可以写出：
    
    因此，这封新邮件是垃圾邮件的概率等于99%。这说明，sex这个词的推断能力很强，将50%的“先验概率”一下子提高到了99%的“后验概率”。

十、联合概率的计算
    做完上面一步，请问我们能否得出结论，这封新邮件就散垃圾邮件？
    回答是不能。因为一封邮件包含很多词语，一些词语（比如sex）是这是垃圾邮件，另一些说不是。你怎么知道以哪个词为准呢？
    Paul GraHam的做法是：选出这封邮件中P(S|W)最高的15个词，计算它们的联合概率。（【注释】如果有的词是第一次出现，无法计算P(S|W)，Paul Graham就假定这个值等于0.4。因为垃圾邮件用的往往都是某些固定的词语，所以如果你从来没有见过某个词，它多半是一个正常的词。）
    所谓联合概率，就是指在多个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率有多大。比如，已知W1和W2是两个不同的词语，它们都出现在某封电子邮件之中，那么这封邮件是垃圾邮件的概率，就是联合概率。
    在已知W1和W2的情况下，无丰就是两种结果：垃圾邮件（事件E1）或正常邮件（事件E2）。
    
    其中，W1、W2和垃圾邮件的概率分别如下：
    
    如果假定所有事件都是独立事件（【注释】严格地说，这个假定不成立，但是这里可以忽略），那么就可以计算P(E1)和P(E2)：
    
    又由于在W1和W2已经发生的情况下，垃圾邮件的概率等于下面的式子：
    
    【关于上面这式子，为什么P = P(E1)/(P(E1)+P(E2))？有如下解释】
    在上面已经说明了，E1是在W1和W2同时出现的情况下垃圾邮件的事件，E2是W1和W2同时出现的情况下正常邮件的事件，注意这里的前提都是“在W1和W2同时出现的情况下”。
    那么，P = P(E1)/(P(E1)+P(E2))，其意思是W1和W2共同出现的情况下是垃圾邮件的概率，而P(W1,W2)实际上就是P(E1)+P(E2)，所以P = P(E1)/(P(E1)+P(E2))。
    【解释完毕】
 
     即
    
    将P(S)等于0.5代入，得到
    
    这就是联合概率的计算公式。如果你不是很理解，点击查看更多的解释。

    【感觉推导跳过了几步：来自于评论】
    P(S|W1 W2) = P(W1 W2|S)P(S)/( P(W1 W2| S)P(S) + P(W1 W2|~S)P(~S) )
    W1,W2独立：P(W1 W2) = P(W1)P(W2)，P(W1 W2|S) = P(W1|S)P(W2|S)  (?)
     上式=P(W1|S)P(W2|S)P(S) / (P(W1|S)P(W2|S)P(S) + P(W1|~S)P(W2|~S)P(~S))

    应用贝叶斯原理，将P(Wi|S)用P(S|Wi)表示：
    上式 = (P(S|W1)P(S|W2)P(S) * P(W1)P(W2) / P(S)^2) / ((P(S|W1)P(S|W2)P(S) * P(W1)P(W2) / P(S)^2) + (P(~S|W1)P(~S|W2)P(~S) * P(W1)P(W2) / P(~S)^2))
    在P(S) = P(~S) = 0.5的条件下：
    上式 = P(S|W1)P(S|W2) / (P(S|W1)P(S|W2) + P(~S|W1)P(~S|W2))
            = P1P2 / (P1P2 + (1-P1)(1-P2));

十一、最终的计算公式
    将上面的公式扩展到15个词的情况，就得到了最终的概率计算公式：
    
    一封邮件是不是垃圾邮件，就用这个式子进行计算。这时我们还需要一个用于比较的门槛值。Paul Graham的门槛值是0.9，概率大于0.9，表示15个词联合认定，这封邮件有90%以上的可能属于垃圾邮件；概率小于0.9，就表示是正常邮件。
    有了这个公式以后，一封正常的邮件即使出现了sex这个词，也不会被认定为垃圾邮件了。
    
    （完）


    原文引自：
    http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_two.html
    感谢作者。