RSA算法中利用欧几里得算法求d详细过程

RSA算法中利用欧几里得算法求d详细过程

RSA是第一个也是使用的最广泛的公钥加密算法，在1978年由R.Rivest、AdiShamir和Adleman三人发明，并以他们的名字命名。RSA算法的安全性基于大数因子分解的困难性，下面介绍一下它的基本原理：

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1、生成公钥和私钥

（1）选取两个大素数：p和q；
（2）计算n=p*q；
（3）计算小于n并且与n互质的整数的个数，即欧拉函数?（n）=（p-1）*（q-1）；
（4）随机选择加密密钥e，使1
（5）最后，利用Euclid（欧几里得）算法计算解密密钥d，使其满足ed=1（mod ?（n））。

然后将（e，n）公开，即为公钥PK，私人保存好d，即为私钥SK；

2、加密

将明文m分解成等长数据块m₁，m₂，……，m_i。加密时，按如下公式进行计算即可：

c_i=（m_i）^e（mod n），密文c则由c₁，c₂，……c_i组成。

 

3、解密

与加密一样，按如下公式进行计算：

m_i=（c_i）^d（mod n），明文m则由m₁，m₂，……，m_i组成。

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以上就是RSA算法的公私钥产生、加密和解密的过程。整个过程中，最难理解的部分应是1.5中的求私钥d，很多课本提到的都是用欧几里得算法，但并未给出具体的计算过程，下面本人就通过一个实例向大家介绍欧几里得算法在RSA中的应用。

例：令p=47，q=71，求用RSA算法加密的公钥和私钥。

计算如下：

（1）n=pq=47*71=3337；
（2）?（n）=（p-1）*（q-1）=46*70=3220；
（3）随机选取e=79（满足与3220互质的条件）；
（4）则私钥d应该满足：79*d mod 3220 = 1；

那么这个式子（4）如何解呢？这里就要用到欧几里得算法（又称辗转相除法），解法如下：

（a）式子（4）可以表示成79*d-3220*k=1（其中k为正整数）；
（b）将3220对79取模得到的余数60代替3220，则变为79*d-60*k=1；
（c）同理，将79对60取模得到的余数19代替79，则变为19*d-60*k=1；
（d）同理，将60对19取模得到的余数3代替60，则变为19*d-3*k=1；
（e）同理，将19对3取模得到的余数1代替19，则变为d-3*k=1；

当d的系数最后化为1时，

令k=0，代入（e）式中，得d=1；
将d=1代入（d）式，得k=6；
将k=6代入（c）式，得d=19；
将d=19代入（b）式，得k=25；
将k=25代入（a）式，得d=1019，这个值即我们要求的私钥d的最终值。

此时，我们即可得到公钥PK=（e，n）={79，3337}，私钥SK={1019，3337}，后面的加密和解密直接套相应公式即可。