20111004关于浮点数

2.4 浮点数
浮点表示对形如V=x*2^y的有理数进行编码。但是同样由于计算机存储的有限性，浮点数表示往往通过舍入取得近似值。
2.4.1 二进制小数
如同十进制的表示：
101.11（10）--- 1×10^2 0×10^1 1×10^0 1×10^-1 1×10^-2=101.11
二进制时：
101.11(2)--- 1×2^2 0×2^1 1×2^0 1×2^-1 1×2^-2=4 1 1/2 1/4=5(3/4)
基本的原理是存储的每一位依次乘以其对应的权值即可。
对于V=x×2^y形式的数，二进制小数可以精确表示，方法是：（1）将x写成二进制数；（2）若y>0,则小数点向右端移y位；若y<0，则小数点从右端向左端移动y位。
这里的原理是对于二进制小数，小数点每向右移动一位相当于乘以2，每向左移动一位，相当于除以2.
2.4.2 IEEE浮点表示
二进制小数在表示非常大的数字时便不是很有效，如5×2^100，在101后要添加100个0. IEEE规定了一个浮点数标准，使得可以在有限的字长下表示浮点数。
IEEE浮点标准：V=（-1）^s×M×2^E
这里s是符号位，M为尾数，E为阶码。实际存储中，由下面的s, frac, exp决定：
float--- s(1) exp(8) frac(23)    total:32bits
double--- s(1) exp(11) frac(52)   total:64bits
这里面采用一些列规定根据s, exp，frac存储的位模式的不同来决定一个浮点数的值，具体的参见课本。
2.4.4 舍入
由于浮点数常常是真实值的近似值，所以我们要对其进行舍入（rounding）来获得想要的值。舍入方法有很多种，但是默认的是向偶数舍入（round2even），这样可以减少很多统计误差。其方法是：
（1）数值小于中间值，则向下舍入；数值大于中间值，则向上舍入；
（2）数值恰好等于中间值，则遵循向偶数舍入。
2.4.5 浮点运算
浮点运算会发生舍入，因此不具有通用的结合性。典型的例子如：（3.14 1e10）-1e10=0！而3.14 （1e10-1e10）=3.14！忽视浮点数不具有结合率往往是隐蔽程序错误漏洞的根源。