设
是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为П(y(x))，则П(y(x))是定义于集合{y(x)}上的一个泛函。
泛函定义域内的函数为可取函数或容许函数， y(x) 称为泛函П的变量函数。
泛函П(y(x))与可取函数y(x)有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。
泛函也是一种“函数”，它的独立变量一般不是通常函数的“”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数
泛函的自变量是函数，泛函的自变量称为。
简言之，泛函就是函数的函数。
常见泛函
如果连续泛函满足下列条件
其中C为任意常数，就称之为线性泛函。
如果连续泛函满足下列条件：
且
就称之为二次性泛函。
产生
十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。这就是，由于对第五的研究，引出了这门新的学科；对于求解的一般思考，最后建立并发展了；对的研究又建立了。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
二十世纪初，数学家弗列特荷姆和法国数学家发表的著作中，出现了把一般化的萌芽。随后，和海令哲开创了“”的研究。到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、、几何的许多概念和方法常常存在相似的地方。比如，求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了。泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方。因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把扩充成无穷维数的空间。
意义
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个之间所建立的一种对应关系。的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。
这里我们先介绍一下的概念。算子也叫，在数学上，把无限到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维上的和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了。
特点
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个的力学系统的运动，实际上需要有新的来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求 n的几何学和作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、、和。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
内容
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如谱理论、代数、拓扑线性空间理论、等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、、函数论、连续介质力学、量子物理、、、等学科中都有重要的应用，还是建立理论的基本工具，也是研究无限个自由度的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析在、概率论、计算数学、连续介质力学、等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
