Reed Solomon Erasure Codes-xiong9937-ChinaUnix博客

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xiong9937

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基本思想

如上图所示，我们总共有块盘，其中块用来存放数据，m块用来存储erasure编码()，在上面的块盘中，任意坏块，都可以通过erasure编码将其余的恢复出来。也就是说，通常的erasure编码，能容块盘故障的场景，这时候的存储成本是, 通常 , 因此，通过erasure编码，我们能够把副本数降到1.x。假如我们用3+2的erasure编码，就能容2块盘坏的故障，同时把成本降到了1.67。可以通过增加进一步降低成本，但是随着的增加，故障恢复的开销会变大，具体的应用过程中要根据实际的业务场景来权衡。据说GFSv2用的是6+3的方案，成本是1.5。

Reed Solomon算法

Reed Solomon算法的核心思想包括三个部分:
1. 利用范德蒙德(Vandermonde)矩阵，通过数据块计算编码块
2. 利用高斯(Gaussian)消元法, 恢复损坏的数据块
3. 为了方便计算机处理，所有运算都是在伽罗华域Galios Field)的基础上进行的

下面是Reed Solomon算法的具体步骤(的Reed Solomon, 处理的字长为):
1. 选择一个合适的字长, 保证
2. 构造上的对数表和反对数表
3. 取的Vandermonde矩阵F, 其中 $F_{i,j}=j^{i-1}$ ,
4. 用F去按字(w)乘数据块就会得到对应的编码块
5. 如果()块数据损坏，可以通过下面的方式恢复:
$A=\begin{bmatrix}I\\F\end{bmatrix}$ , $E=\begin{bmatrix}D\\C\end{bmatrix}$
我们知道, 在和中消去坏块对应的行，得到, , 满足 $A^{'}D=E^'$
通过高斯消元法，便可以解出; 另外如果是编码块中有坏块，可以直接通过算出对应的坏块。

关于Gaussian消元法: 读者朋友可以回忆一下小时候学的n元一次的方程组的解法，它所用的方法其实就是高斯消元法。由n个独立的方程组成的n元一次方程组，有确定的唯一解。在erasure编码中，个数据块相当于是个元，我们有个独立的一次方程，这个方程中，取任意个方程组成方程组，我们都可以通过高斯消元法解出个元，这便是erasure编码中真正的秘密。

关于Vandermonde矩阵: 为了保证”n元一次方程组”有解，我们需要保证每个方程都是”独立的”, 而用Vandermonde矩阵用来做为方程组的系数，便可以保证这一点。这就是erasure编码中为什么用Vandermonde矩阵的原因。下面是Vandermonde矩阵的定义:

?? $V=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_0 & x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} \\ x_{0}^2 & x_{1}^2 & x_{2}^2 & \cdots & x_{n-1}^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{0}^{n-1} & x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-1} \end{bmatrix}$

在erasure编码的具体应用到分布式存储系统中时，上面的都是在中，所有的运算都是在上做的。

Cauchy Reed Solomon算法

Cauchy Reed Solomon跟普通的Reed Solomon的最大的区别就是把Vandermonde矩阵换成了Cauchy（柯西)矩阵。通过《Finite Field Arithmetic》我们知道，在中的运算需要查对数表和反对数表来进行，并且随着的增大，查表的开销也会增大。在Cauchy Reed Solomon中，通过使用Cauchy矩阵，可以将上的四则运算做如下转化: 加法->异或，乘法->与，我们知道上的减法都可以转化为加法，除法都可以转化为乘法。因此，通过Cauchy Reed Solomon，可以将上的四则运算都转化为“异或”或者“与”运算，这对于计算机来说，更为友好，速度更快。
Cauchy Reed Solomon算法的过程跟普通的Reed Solomon算法的过程基本是类似的，关于如何构造Cauchy矩阵，以及如何把四则运算转化为位运算，感兴趣的同学可以参考[2], 这里不再赘述。

Jerasure and Java-Erasure

再回到算法本身的具体实现上，[3]有各种实现的对比，感兴趣的同学可以参考。总体来说，目前用得比较广泛的是James Plank实现的Jerasure, Jerasure本身是由纯C语言实现了，为了应用到Java语言实现的系统中(HDFS)，前段时间封装了一个wrapper library Java-erasure, 该库的用法和接口都非常简单，具体参考github上的README。

参考资料

1. A Tutorial on Reed-Solomon Coding for Fault-Tolerance in RAID-like Systems
2. Optimizing Cauchy Reed-Solomon Codes for Fault-Tolerant Storage Applications
3. Tutorial: Erasure Coding for Storage Applications

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