循环小数与分数

任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。

　

　

　

　　（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化

　　因为40=2³×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。

　　（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。

　　（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与

　　5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

　　于是我们得到结论：

　　一个最简分数化为小数有三种情况：

　　（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；

　　（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；

　　（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

　　例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？

　　

　　分析与解：上述分数都是最简分数，并且

　　32=2⁵，21=3×7，250=2×5³，78=2×3×13，

　　117=3³×13，850=2×5²×17，

　　根据上面的结论，得到：

　　

　　

　　

不循环部分有两位。

　　将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。

　　1.将纯循环小数化成分数。

　　

　　

　　将上两式相减，得将上两式相减，得

　　

　　从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。

　　纯循环小数化成分数的方法：

　　分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。

　　

　　2.将混循环小数化成分数。

　　

　　将上两式相减，得

　　

　　

　　将上两式相减，得

　　

　　从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。

　　混循环小数化成分数的方法：

　　分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。

　　

　　掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。

　　例6 计算下列各式：