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RSA算法
RSA算法是R.Rivest、A.Shamir和L.Adleman于1977年在美国麻省理工学院开发，于1978年首次公布。RSA公钥密码算法是目前网络上进行保密通信和数字签名的最有效的安全算法之一。RSA算法的安全性基于数论中大素数分解的困难性，所以，RSA需采用足够大的整数。因子分解越困难，密码就越难以破译，加密强度就越高。
算法如下：
选两个很大的素数p和q；
求出它们的积n = p * q，n叫做模；
选出一个数e，e求出e的逆d，要求ed = 1 mod (p-1)(q-1)；
e和d分别叫做公开指数和私有指数。公钥是数对（n,e）；
私钥是d。
例如：
选取p=3, q=5，e=3,假定明文为M=7，应用RSA算法进行加/解密。
解：(1)、n=p*q=15，
（p-1）*（q-1）=8；
(2)、 由e*d= 1 mod （p-1）*（q-1）得
7*d=1 mod 8，计算出d =11。
(3)、则密文C为
C = M^e mod n
= 7^3 mod 15
= 343 mod 15
= 13
(4)、复原明文M为：
M = C^d mod n
= 13^11 mod 15
= 1792160394037L mod 15
= 7
作业：
使用RSA公开密钥体制进行运算：
1、 若p=5，q=11，求符合条件5个以上e。
e可为：1、3、7、9、11、13、17、19、21、23、27、29、
31、33、37、39、41、43、47、49、51、53
2、 设p=3，q=11，d=7，m=5，计算C。
c=m^e mod n=53 mod 33=26
3、若p=3，q=17，e=3，明文为“leach”(设a~z的
编号为0~25），求密文C。
字符l、e、a、c、h对应编号分别为：11、4、0、2、7；
c1=11^3 mod 51=5=F ；c2=4^3 mod 51=13=N
c3=0^3 mod 51=0=A ； c4=2^3 mod 51=8=I
c5=7^3 mod 51=37=L
即，密文C为：FNAIL
%CB%E3%B7%A8%D4%AD%C0%ED&spi=1&sr=4&w8=rsa%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%8E%9F%E7%90%86&qf=10&rn=83
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RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。
RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近二十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全
性依赖于大数的因子分解，但并没有从理论上证明破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是无法从理论上把握它的保密性能如何，而且密码学
界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，因而难以做到一次一密。B)分组长度太大，
为保证安全性，n 至少也要 600
bits以上，使运算代价很高，尤其是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增加，不利于数据格式的标准化。目
前，SET(Secure Electronic
Transaction)协议中要求CA采用2048比特长的密钥，其他实体使用1024比特的密钥。 To YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛;T2`9|0f$O+s;N$P-A
机资源-图片-铃声-手机视频-游戏-电子书-免费下载-手机资料-刷机-l6-e6-k1-z3-v3i-l7-e2-e1-l72+W"K&n6U0K
这种算法1978年就出现了，它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron
Rivest, AdiShamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。 `.H9t(a
RSA的安全性依赖于大数分解。公钥和私钥都是两个大素数（ 大于 100个十进制位）的函数。据猜测，从一个密钥和密文推断出明文的难度等同于分解两个大素数的积。
0C)P-r%A,])OTo YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛密钥对的产生。选择两个大素数，p 和q 。计算： 诺基亚摩托罗拉手机论坛,手机资源免费下：手机图片，铃声，视频，3gp电影，电子书海量免费下载。手机个性化，介绍刷机方法，diy教程，手机软件下载。:G!H)b+o#H't#O3Y-S6L
n = p * q %T3N&c2n'N!f
#U+a5H D'V/S+d-kTo YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛然后随机选择加密密钥e，要求 e 和 ( p - 1 ) * ( q - 1 ) 互质。最后，利用Euclid 算法计算解密密钥d, 满足
e * d = 1 ( mod ( p - 1 ) * ( q - 1 ) ) 手机,手机图片,手机铃声,电子书,手机视频,手机游戏,java游戏免费下载,刷机,手机软件,3gp电影,个性化,手机资源,smartmoto,mpt,Motoskin&L,W6D;B+@;s
~.g/Y$H/K+Y'l%^$g-t
其中n和d也要互质。数e和n是公钥，d是私钥。两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任何人知道。 诺基亚摩托罗拉手机论坛,手机资源免费下：手机图片，铃声，视频，3gp电影，电子书海量免费下载。手机个性化，介绍刷机方法，diy教程，手机软件下载。6H:g+b/x(N7u+{"f
(x9o#l!W#b(l1c:V1KTo YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛加密信息 m（二进制表示）时，首先把m分成等长数据块 m1 ,m2,..., mi ，块长s，其中 2^s <= n, s 尽可能的大。对应的密文是： 手机,手机图片,手机铃声,电子书,手机视频,手机游戏,java游戏免费下载,刷机,手机软件,3gp电影,个性化,手机资源,smartmoto,mpt,Motoskin-W,y5@%_9{:r.E
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ci = mi^e ( mod n ) ( a ) 手机资源-图片-铃声-手机视频-游戏-电子书-免费下载-手机资料-刷机-l6-e6-k1-z3-v3i-l7-e2-e1-l729G1R1o$E#D0k8R4y*R
手机资源-图片-铃声-手机视频-游戏-电子书-免费下载-手机资料-刷机-l6-e6-k1-z3-v3i-l7-e2-e1-l723Z(D/T$h0^1{0\&Z5q
解密时作如下计算： 2\"f!t%b6}$U ^5m!f5P3d
o YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛;y/N+r'D.E-q'F
mi = ci^d ( mod n ) ( b ) To YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛6`&i(Z(i"o#q9i;[
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RSA 可用于数字签名，方案是用 ( a ) 式签名， ( b )式验证。具体操作时考虑到安全性和 m信息量较大等因素，一般是先作 HASH 运算。 诺基亚摩托罗拉手机论坛,手机资源免费下：手机图片，铃声，视频，3gp电影，电子书海量免费下载。手机个性化，介绍刷机方法，diy教程，手机软件下载。9G*G;I%p O6N$Z
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RSA 的安全性。 手机资源-图片-铃声-手机视频-游戏-电子书-免费下载-手机资料-刷机-l6-e6-k1-z3-v3i-l7-e2-e1-l72.W5M!G3_-d0}
RSA
的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算
法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前，
RSA的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解140多个十进制位的大素数。因此，模数n必须选
大一些，因具体适用情况而定。
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RSA的速度。 手机,手机图片,手机铃声,电子书,手机视频,手机游戏,java游戏免费下载,刷机,手机软件,3gp电影,个性化,手机资源,smartmoto,mpt,Motoskin#E:Y9w,l/\5}-L2W t
5o M-T#V,o+S;\(|%M手机,手机图片,手机铃声,电子书,手机视频,手机游戏,java游戏免费下载,刷机,手机软件,3gp电影,个性化,手机资源,smartmoto,mpt,Motoskin由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上100倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。
手机,手机图片,手机铃声,电子书,手机视频,手机游戏,java游戏免费下载,刷机,手机软件,3gp电影,个性化,手机资源,smartmoto,mpt,Motoskin:B(H0r*w:{'Q4q.h
RSA的选择密文攻击。
.|*X B3`#s7W诺基亚摩托罗拉手机论坛,手机资源免费下：手机图片，铃声，视频，3gp电影，电子书海量免费下载。手机个性化，介绍刷机方法，diy教程，手机软件下载。RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装(Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：
;o"P1~,l&Z2k
( XM )^d = X^d *M^d mod n )_+E
`$`:Y&G'd*F1q#p手机,手机图片,手机铃声,电子书,手机视频,手机游戏,java游戏免费下载,刷机,手机软件,3gp电影,个性化,手机资源,smartmoto,mpt,Motoskin前
面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公钥
协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用
One-Way Hash Function对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。
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RSA的公共模数攻击。 手机资源-图片-铃声-手机视频-游戏-电子书-免费下载-手机资料-刷机-l6-e6-k1-z3-v3i-l7-e2-e1-l72,}6^+H)p"c8X I)^)\(r
&J+Z8F&F8u手机资源-图片-铃声-手机视频-游戏-电子书-免费下载-手机资料-刷机-l6-e6-k1-z3-v3i-l7-e2-e1-l72若系统中共有一个模数，只是不同的人拥有不同的e和d，系统将是危险的。最普遍的情况是同一信息用不同的公钥加密，这些公钥共模而且互质，那末该信息无需私钥就可得到恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则： To YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛%H)G3J0F'K)j A
)}9d;g,S.i*c8I8I%R Y-yTo YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛C1 = P^e1 mod n
ww.toyours.com%Y-q5y&a,R'L
C2 = P^e2 mod n
密码分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。 诺基亚摩托罗拉手机论坛,手机资源免费下：手机图片，铃声，视频，3gp电影，电子书海量免费下载。手机个性化，介绍刷机方法，diy教程，手机软件下载。(r5y6r e2d2?5r'`
因为e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，满足： 手机资源-图片-铃声-手机视频-游戏-电子书-免费下载-手机资料-刷机-l6-e6-k1-z3-v3i-l7-e2-e1-l720f;y/F6e!k:o6`
r * e1 + s * e2 = 1 诺基亚摩托罗拉手机论坛,手机资源免费下：手机图片，铃声，视频，3gp电影，电子书海量免费下载。手机个性化，介绍刷机方法，diy教程，手机软件下载。2r#w8B,U,Y/F1R!v
假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则 *[9~"m2H1F"T&Z
To YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛6N.W/m*{2w$\
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
基亚摩托罗拉手机论坛+K"H1M.s"l2W
另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，如果知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。 To YouRs 诺基亚摩托罗拉手机论坛1k:J+j3^*F"r
8W;h0Q8d*O"F,a#m)K&Y
RSA的小指数攻击。 有一种提高RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有所提高。但这样作是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。
http://hi.baidu.com/yhgzi/blog/item/55a6b6641a4a63f5f7365431.html
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首先, 找出三个数, p, q, r,
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数
p, q, r 这三个数便是 private key
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了
再来, 计算 n = pq
m, n 这两个数便是 public key
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是编码後的资料
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解码完毕.等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r所以, 他必须先对 n 作质因数分解.
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
使第三者作因数分解时发生困难
<定理>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的
<证明>
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能
%CB%E3%B7%A8%D4%AD%C0%ED&spi=1&sr=1&w8=rsa%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%8E%9F%E7%90%86&qf=10&rn=83
