转置矩阵

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在中，A 的转置是另一个矩阵A^T (也写做A^tr, ^tA 或A′)由下列等价动作建立:

• 把A 的横行写为A^T的纵列
• 把A 的纵列写为A^T的 横行

形式上说，m × n 矩阵A 的转置是n × m 矩阵

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注意（转 置矩阵）与（）不同。

目录

[]

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[] 例子

[] 性质

对于矩阵A, B 和标量c 转置有下列性质:

1.

转置是自身。

2.

转置是从m × n 矩阵的到所有n × m 矩阵的向量空间的。

3.

注意因子反转的次序。以此可推出A 是，当且仅当A^T是可逆矩 阵，在这种情况下有 (A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹。 相对容易的把这个结果扩展到矩阵相乘的一般情况，可得出 (ABC...XYZ)^T = Z^TY^TX^T...C^TB^TA^T。

4.

的转置是同样的 标量。

5.

矩阵的转置矩阵的同 于这个矩阵的行列式。

6.两个纵列向量a 和b 的可计算为

7.如果A 只有元 素，则A^TA 是。

8.如果A 是在某个上， 则A 于A^T。

[] 特殊转置矩阵

其转置等于自身的方块矩阵叫做；就是说A 是对称的，如果

其转置也是它的逆矩阵的方块矩阵叫做；就是说G 是正交的，如果

  I是。

其转置等于它的负矩阵的方块矩阵叫做；就是A 是斜对称的，如果

矩阵A 的，写为A^*，是A 的转置加上取每个元素的:

[] 线性映 射的转置

如果f: V→W 是在V和W之间的，我们定义f 的转置为线性映射^tf : W→V， 确定自

这里的，B_V和B_W分别是在V 和W 上的双线性形式。一个映射的转置的矩阵是转置矩阵，只要是 关于它们的双线性形式是正交的。

在复向量空间上，经常用到来替代双线性形式。在这种空间之间的映射的转置可类似的定义，转置映射的矩阵由共轭转置矩阵给出， 如果基是正交的。在这种情况下，转置也叫做。

如果V 和W 没有双线性形式，则线性映射f: V→W 的转置只能定义为在W 和V 之间的线性映射 ^tf : W^*→V^*。