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矩阵乘法

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这篇文章给出多种相乘方法的综述。

[] 一般矩阵乘积

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数(column)和第二个矩阵的行数(row)相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则他们的乘积AB(有时记做A · B)会是一个m×p矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出：

$(AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}.$

以上是用的代数系统来说明这类乘法的抽象性质。

[] 由定义直接计算

左边的图表示出要如何计算AB的(1,2)和(3,3)元素，当A是个4×2矩阵和B是个2×3矩阵时。分别来自两个矩阵的元素都依箭头方向而两两配对，把每一对中的两个元素相乘，再把这些乘积加总起来，最后得到的值即为箭头相交位置的值。

$(AB)_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}$ $(AB)_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}$

[] 系数－向量方法

这种矩阵乘积亦可由稍微不同的观点来思考：把和各相乘后相加起来。设A和B是两个给定如下的矩阵：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$ $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$

则

$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} a_{1,1} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \end{bmatrix} + a_{1,2} \begin{bmatrix} b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \end{bmatrix} + \cdots \\\\ a_{2,1} \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots \end{bmatrix} + a_{2,2} \begin{bmatrix} b_{2,1} & b_{2,2} & \dots \end{bmatrix} + \cdots \\ \vdots \end{bmatrix}$

举个例子来说:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + 0 \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \\ -1 \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -3 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$

左面矩阵的列为为系数表，右边矩阵为向量表。例如，第一行是[1 0 2]，因此将1乘上第一个向量，0乘上第二个向量，2则乘上第三个向量。

[] 向量表方法

一般矩阵乘积也可以想为是和的。若A和B为给定如下的矩阵：

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ \vdots \end{bmatrix}$ and $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & \dots \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & \dots \\ b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & \dots \end{bmatrix}$

其中

A₁是由所有a_1,x元素所组成的向量，A₂是由所有a_2,x元素所组成的向量，以此类推。B₁是由所有b_x,1元素所组成的向量，B₂是由所有b_x,2元素所组成的向量，以此类推。

则

$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ \vdots \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} B_1 & B_2 & B_3 & \dots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (A_1 \cdot B_1) & (A_1 \cdot B_2) & (A_1 \cdot B_3) & \dots \\ (A_2 \cdot B_1) & (A_2 \cdot B_2) & (A_2 \cdot B_3) & \dots \\ (A_3 \cdot B_1) & (A_3 \cdot B_2) & (A_3 \cdot B_3) & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$

[] 性质

矩阵乘法是不的 (即AB ≠ BA)，除了一些较特别的情况。很清楚可以知道，不可能预期说在改变向量的部份后还能得到相同的结果，而且第一个矩阵的行数必须要和第二个矩阵的列数相同，也可以看出为什么矩阵相乘的顺序会影响其结果。

虽然矩阵乘法是不可交换的，但AB和BA的总会是一样的(当A、B是同样大小的方阵时)。其解释在行列式条目内。

当A、B可以被解释为，其矩阵乘积AB会对应为两个线性算子的，其中B先做用。

[] 算法

[] 标量乘积

矩阵A = (a_ij)和标量r的标量乘积rA的矩阵大小和A一样，rA的各元素定义如下：

$(rA)_{ij} = r \cdot a_{ij}. \,$

若我们考虑于一个的矩阵时，上述的乘积有时会称做左乘积，而右乘积的则定义为

$(Ar)_{ij} = a_{ij} \cdot r. \,$

当环是时，例如实数体或复数体，这两个乘积是相同的。但无论如何，若环是不可交换的话，如，他们可能会是不同的。例如，

$i\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & k \\ \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -k \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\ \end{bmatrix}i$

[] 阿达马乘积

给定两个相同维度的矩阵，我们有阿达马乘积，或称做分素乘积(entrywise product)。两个m×n矩阵A、B的乘积标记为A • B，为一定义为 (A•B)_ij = a_ijb_ij的m×n矩阵。例如，

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 2 \cdot 2 \\ 1 \cdot 7 & 0 \cdot 5 & 0 \cdot 0 \\ 1 \cdot 2 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 7 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \end{bmatrix}$

需注意的是，阿达马乘积是克罗内克乘积的。

[] 克罗内克乘积

主条目: .

给定任两个矩阵A和B，我们可以得到两个矩阵的直积，或称为乘积A⊗B，其定义如下

$\begin{bmatrix} a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}B & a_{m2}B & \cdots & a_{mn}B \end{bmatrix}.$

当A是一m×n矩阵和B是一p×r矩阵时，A⊗B会是一mp×nr矩阵，而且此一乘积也是不可交换的。

举个例子，

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 0 & 1\cdot 3 & 2\cdot 0 & 2\cdot 3 \\ 1\cdot 2 & 1\cdot 1 & 2\cdot 2 & 2\cdot 1 \\ 3\cdot 0 & 3\cdot 3 & 1\cdot 0 & 1\cdot 3 \\ 3\cdot 2 & 3\cdot 1 & 1\cdot 2 & 1\cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 0 & 6 \\ 2 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 9 & 0 & 3 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ .

若A和B分别表示两个线性算子V₁ → W₁和V₂ → W₂，A⊗B便为其映射的，V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

[] 共同性质

上述三种乘积都符合：

A(BC) = (AB)C

以及:

A(B + C) = AB + AC(A + B)C = AC + BC

而且和标量乘积相溶：

c(AB) = (cA)B(Ac)B = A(cB)(AB)c = A(Bc)

注意上述三个分开的表示式只有在标量体的乘法及加法是可交换(即标量体为一可交换环)时会相同。

[] 另见

(1969)
(1980)
(1990)

[] 外部链接

Matrix Multipication in C
(works in Firefox)

[] 参考

Strassen, Volker, Gaussian Elimination is not Optimal, Numer. Math. 13, p. 354-356, 1969.
Coppersmith, D., Winograd S., Matrix multiplication via arithmetic progressions, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
Horn, Roger; Johnson, Charles: "Topics in Matrix Analysis", Cambridge, 1994.
Robinson, Sara, Toward an Optimal Algorithm for Matrix Multiplication, SIAM News 38(9), November 2005.

取自“”

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