不同基下的坐标变换

在3D中流水线中，在几何部分，主要就是从不同坐标系之间坐标变换，这里主要介绍坐标变换的理论。

记,是两个不同坐标系的基向量，他们之间的过渡矩阵为T。

即：

*T =

设点P在坐标系中的坐标为(x1,y1,z1),在中的坐标为(x2,y2,z2)。

则有：

*(x1,y1,z1)' = *(x2,y2,z2)'                        (注:(x1,y1,z1)'代表转置)

-->    *(x1,y1,z1)' = *T*(x2,y2,z2)'                    (这里的必然是可逆的矩阵)

-->    (x1,y1,z1)' = T*(x2,y2,z2)'        (这里的T也必然是可逆矩阵)

-->    Inv(T)*(x1,y1,z1)' = (x2,y2,z2)'                (Inv(T)代表T的逆矩阵)

上面的过程采用的是右手系，所以如果两个坐标系的过渡矩阵为T那么他们的坐标相差的就是Inv(T)。

而在DX中采用的是左手系，左手系和右手系就相差一个转置，所以上面的过程为：

T*' = '

-->    (x1,y1,z1)*Inv(T) = (x2,y2,z2)

在DX中，从Object Space-->World Space-->View Space-->Clip Space，使用的D3DXMatrixXXX得到的Matrix都是Inv(T)这个矩阵，注意不是两个坐标系的过渡矩阵。

在进行两个坐标系之间的坐标变换的时候，只要找到那个过渡矩阵T就可以解决了。而求T主要就用

*T = 这个公式。而通常在3D中两个坐标系的基向量都是标准正交基，所以他们相差的就是一个平移和旋转，注意是先平移，再旋转。

平移：将前一个坐标系的坐标原点移动到另一个坐标系的原点

旋转：当两个坐标系的原点对齐后，旋转移动过来的坐标系，使他们的x,y,z轴对齐

所以：

在右手系情况下是右乘基向量，T = 平移M*旋转M

在左手系情况下是左乘基向量，T = 旋转M*平移M

如果是单位基向量，即E矩阵。那么T = ，而如果是标准正交基，则InvT = T'。

这里举一个从World Space到View Space的变换过程(采用左手系)

World Space中的基向量为E。

Eye Position为(1,2,3)

Up向量为(1,0,0)

Right向量为(0,0,1)

Look向量为(0,1,0)

则有

|1, 0, 0| |0, 0, 1|

 Trotate*(a1,a2,a3)' = Trotate * |0, 1, 0| = |1, 0, 0| 

|0, 0, 1| |0, 1, 0|

在上面这个等式中是不能包含平移矩阵的，因为向量之间是没有位置关系的，只有方向。

而平移矩阵 = |1, 0, 0, 0|

      |0, 1, 0, 0|

|0, 0, 1, 0|

|1, 2, 3, 1|

在3D中平移矩阵要在第四维来体现，所以这里的是4x4的矩阵。

T = 旋转矩阵*平移矩阵 = |0, 0, 1, 0|   |1, 0, 0, 0|

      |1, 0, 0, 0|  * |0, 1, 0, 0|  

|0, 1, 0, 0|  |0, 0, 1, 0|

|0, 0, 0, 1|  |1, 2, 3, 1|      

Trotate是标准正交矩阵，所以Inv(Trotate) = Trotate'

而平移矩阵他的逆矩阵是在原来的方向反着平移的矩阵，所以就是

Inv(平移矩阵)  =  |1, 0, 0, 0|

      |0, 1, 0, 0|

|0, 0, 1, 0|

|-1, -2, -3, 1|

而Inv(T) =  Inv( 旋转矩阵*平移矩阵 ) = Inv(平移矩阵)*Inv( 旋转矩阵 )

      = |0, 1, 0, 0|

  |0, 0, 1, 0|

|1, 0, 0, 0|

|-3, -1, -2, 1|

验证：

World Space  *  Inv(T)   View Space

(1, 2, 3, 1)           (0, 0, 0, 1)

(1, 3, 4, 1) (1, 0, 1, 1)