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2020-08-20 18:29:41

https://zhuanlan.zhihu.com/p/38567891

一、全概率公式&贝叶斯公式

在介绍先验、后验概率之前我们先来复习一下全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式:设事件 [公式] 构成一个完备事件组,即它们两两不相容,和为全集且 [公式] ,则对任一事件 [公式] 有:

[公式]

可以看出,全概率公式是“由因推果”的思想,当知道某件事的原因后,推断由某个原因导致这件事发生的概率为多少。

贝叶斯公式:符号定义与全概率公式相同,则:

[公式]

可以看出,贝叶斯公式是“由果溯因”的思想,当知道某件事的结果后,由结果推断这件事是由各个原因导致的概率为多少。


二、先验概率&后验概率

先验概率(prior probability):指根据以往经验和分析。在实验或采样前就可以得到的概率。

后验概率(posterior probability):指某件事已经发生,想要计算这件事发生的原因是由某个因素引起的概率。

可以看出,先验概率就是事先可估计的概率分布,而后验概率类似贝叶斯公式“由果溯因”的思想。下面我们通过PRML(Pattern Recognition and Machine Learning)这本书中的例子来理解一下上面的定义。

假设我们现在有两个盒子,分别为红色和蓝色。在红色盒子中放着2个苹果和6个橙子,在蓝色盒子中放着1个橙子和3个苹果,如下图所示:

图中绿色表示苹果,橙色代表橙子。假设我们每次实验的时候会随机从某个盒子里挑出一个水果,随机变量B(box)表示挑出的是哪个盒子,并且P(B=blue) = 0.6(蓝色盒子被选中的概率),P(B=red) = 0.4(红色盒子被选中的概率)。随机变量F(fruit)表示挑中的是哪种水果,F的取值为"a (apple)"和"o (orange)"。

现在假设我们已经得知某次实验中挑出的水果是orange,那么这个orange是从红色盒子里挑出的概率是多大呢?依据贝叶斯公式有:

[公式]

同时,由概率的加法规则我们可以得到:

[公式]
在上面的计算过程中,我们将 [公式] 或者说 [公式] 称为先验概率(prior probability),因为我们在得到F是“a”或者“o”之前,就可以得到 [公式] 。同理,将 [公式] 和 [公式] 称为后验概率,因为我们在完整的一次实验之后也就是得到了F的具体取值之后才能得到这个概率。

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