1、问题引入
一个有n个顶点的有向图的传递闭包为：有向图中的初始路径可达情况可以参见其邻接矩阵A，邻接矩阵中A[i,j]表示i到j是否直接可达，若直接可达，则A[i,j]记为1，否则记为0；两个有向图中i到j有路径表示从i点开始经过其他点（或者不经过其他点）能够到达j点，如果i到j有路径，则将T[i,j]设置为1，否则设置为0；有向图的传递闭包表示从邻接矩阵A出发，求的所有节点间的路径可达情况，该矩阵就为所要求的传递闭包矩阵。。。
例如：
有向图为：
由该有向图可以得到初始的邻接矩阵为：
那么warshall传递闭包算法的目的就是由邻接矩阵出发，进行探索求出最终的传递闭包：
2、动态规划求解思路
动态规划将问题分段，本例warshall算法是通过一系列n阶矩阵r（k）来构造最终阶段n阶传递闭包矩阵r（n）
R(k) 由它的前趋 R(k-1) 计算得到（分级推进计算）。
R(0) ——该矩阵不允许它的路径中包含任何中间顶点，即从该矩阵的任意顶点出发的路径不含有中间顶点，此即邻接矩阵。
R(1) ——允许路径中包含第1个顶点（本例编号 1）作为中间顶点。
R(2) ——允许路径中包含前2个顶点（本例编号1 2）作为中间顶点。
R(k) ——允许路径中包含前k个顶点作为中间顶点。
R(n) ——允许路径中包含全部 n 个顶点作为中间顶点。
每个后继矩阵 R(k) 对其前趋 R(k-1) 来说，在路径上允许增加一个顶点， 因此有可能包含更多的1（增加前为1的在增加后依然为1）。
3、具体的算法描述
warshall (A[1...n,1...n])
r(0)<-A;
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
r(k)[i,j]=r(k-1)[i,j] or (r(k-1)[i,k] and r(k-1)[k,j]);
return r(n);
4、具体实现代码如下
说明：（1）有向图的顶点个数和初始邻接矩阵存储在2.txt中（具体如下图），其中4表示有向图中有4 个顶点，其他表示初始邻接矩阵。
-
4
-
0 1 0 0
-
0 0 0 1
-
0 0 0 0
-
1 0 1 0
（2）有向图的顶点个数和初始邻接矩阵个数可以随意更改，，，，
具体代码：
C++语言:
#include
#include
void Warshall(int,int**);
void main()
{
int i,j,num;
FILE*p;
p=fopen("2.txt","r");
if(p==NULL)
{
printf("cannot open 2.txt");
exit(-1);
}
fscanf(p,"%d",&num);
int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
for(i=0;i1;i++)
r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
for(i=1;i1;i++)
for(j=1;j1;j++)
fscanf(p,"%d",&r[i][j]);
printf("顶点个数为：%d\n",num);
printf("邻接矩阵为：\n");
for(i=1;i1;i++)
{
for(j=1;j1;j++)
printf(" %d ",r[i][j]);
printf("\n");
}
Warshall(num,r);
printf("最终的传递闭包为\n");
for(i=1;i1;i++)
{
for(j=1;j1;j++)
printf(" %d ",r[i][j]);
printf("\n");
}
}
//三重循环实现的warshall算法
//r为邻接矩阵，中间存储初试的可达与非可达路径情况，1表示可达，0表示不可达
void Warshall(int num,int**r)
{
int i,j,k;
int **temp=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
for(i=0;i1;i++)
temp[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
for(k=1;k<=num;k++)//依次取得的可以作为中间点的顶点
{
for(i=1;i<=num;i++)
{
for(j=1;j<=num;j++)
{
temp[i][j]=(r[i][j])||(r[i][k]&r[k][j]);
}
}
for(i=1;i<=num;i++)
for(j=1;j<=num;j++)
r[i][j]=temp[i][j];
}
}
5、结果如下：
-
顶点个数为：4
-
邻接矩阵为：
-
0 1 0 0
-
0 0 0 1
-
0 0 0 0
-
1 0 1 0
-
最终的传递闭包为
-
1 1 1 1
-
1 1 1 1
-
0 0 0 0
-
1 1 1 1
6、参考文献
（1）算法导论
（2）数据结构 严蔚敏
（3）网上下载的ppt（第8章 动态规划）
