相似性度量--Pearson相关系数

文章来源：http://my.oschina.net/mazhiyuan/blog/144762

Pearson 相关系数介绍

pearson是一个介于-1和1之间的值，用来描述两组线性的数据一同变化移动的趋势。

当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或-1；当一个变量增大，另一个变量也增大时，表明它们之间是正相关的，相关系数大于0；如果一个变量增大，另一个变量却减小，表明它们之间是负相关的，相关系数小于0；如果相关系数等于0，表明它们之间不存在线性相关关系。

用数学公式表示，皮尔森相关系数等于两个变量的协方差除于两个变量的标准差。

协方差（Covariance）：在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。如果两个变量的变化趋于一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值；如果两个变量的变化趋势相反，则协方差为负值。

其中u表示X的期望E(X), v表示Y的期望E(Y)

由于pearson描述的是两组数据变化移动的趋势，所以在基于user-based的协同过滤系统中，经常使用。描述用户购买或评分变化的趋势，若趋势相近则pearson系数趋近于1，也就是我们认为相似的用户。

Pearson 相关系数的缺陷

直观的可以看出，pearson不适用于文本的相似性分析。

pearson存在以下3个问题： 以下图的数据作为测试用例

1. 未考虑重叠记录项的数量对相似度的影响
    上表中，行表示用户（1～5）对项目（101～103）的一些评分值。直观来看，User1和User5用3个共同的评分项，并且给出的评分趋势相
同，User1与User4只有2个相同评分项，虽然他们的趋势也相似，但是由于102的未知，可能是User2对102未发生行为，或者对102很讨厌，所以我们更希望User1和User5更相似，但结果是User1与User4有着更高的结果。
    可以看出pearson系数只会对重叠的记录进行计算。

     同样的场景在现实生活中也经常发生，比如两个用户共同观看了200部电影，虽然不一定给出相同或完全相近的评分，但只要他们之间的趋势相似也应该比另一位只观看了2部相同电影的相似度高！但事实并不如此，如果对这两部电影，两个用户给出的相似度相同或很相近，通过Pearson相关性计算出的相似度会明显大于观看了相同的200部电影的用户之间的相似度。

2.如果只有一个重叠项则无法计算相关性
    从数学上讲，若只有一个重叠的记录，那么至少有一组记录的标准差为0，导致分母为0
从这一点也可以看出，pearson系数不适用与小的或者非常稀疏的数据集。当然，这一特性也有它的好处，无法计算pearson系数可以认为这两组数据没有任何相关性。

3.如果一组记录的所有评分都一样则无法计算相关性
    理由同2.

4.Pearson系数对绝对数值不敏感
    考虑这三组数据，1:(1.0,2.0,3.0,4.0),2:(40.0,50.0,70.0,80.0),3:(50.0,60.0,70.0,80.0),我们可以直观的认为2和3更为相似，它们的重叠评分数目一致，趋势也相同，记录1虽然也满足上述的条件，但是它整体数值很低。在现实中，有人习惯于给出更高的评分，而有人则恰恰相反。
    利用pearson计算它们之间的相似度为：
     1&2: 0.9899494936611665

     2&3: 0.9899494936611665

     1&3: 0.9999999999999999

    可以看出pearson系数对绝对数值并不敏感，它确实只是描述了两组数据变化的趋势。