八元數解開宇宙維度

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19世紀發明後就被人淡忘的數系，也許可以簡單告訴我們宇宙為什麼是10維。

撰文╱巴艾茲（John C. Baez）、伍爾達（John Huerta）
翻譯／翁秉仁

重點提要

■大部份人都熟悉實數，不過世界上還有更多的數系，最知名的是用到-1的平方根的複數。

■除了實數，我們還可以建立更高維度的數系。不過如果想具備加、減、乘、除四則運算，就只有少數幾種情形能做到了。

■其中之一是八元數，這是一種八維的數系。數學家在1840年代就發明了八元數，卻因為找不到實際的應用，把它冷落了150年。

■如今數學家懷疑，八元數或許可以協助我們理解粒子物理理論的高等研究，例如超對稱與弦論。如果弦論是正確的，我們就可以利用八元數解釋宇宙為何是10維的。

我們從小就開始學數，先從計數開始，繼而學習加、減、乘、除四則運算。不過數學家知道，學校所教的 數，只是眾多可能數系之一。例如在理解幾何學和物理學時，其他的數也很重要，而其中最古怪的數系之一就是八元數（octonion）。自1843年誕生以 來，八元數被大多數人忽略了，但是在過去二、三十年，八元數卻在弦論中佔有奇特的重要性。而且，如果弦論真的可以正確描述宇宙，那麼八元數或許可以解釋宇 宙的維度。

以虛為實

八元數並非第一個後來用於研究宇宙的純數學結構，也不是第一個有特別用途的另類數系。為了清楚說明， 先讓我們回到最簡單的數：學校教的、數學家稱為實數的數系。所有實數的集合構成直線，因此實數整體是一維的；或者反過來想，因為描述直線上的點需要一個實 數，所以直線是一維的。

16世紀之前，實數是世上僅有的數系。不過到文藝復興時期，有企圖心的數學家試圖解出更複雜的方程 式，甚至還舉行比賽，看誰能解出最困難的問題。當時，義大利身兼數學家、醫生、賭徒與占星家的卡丹諾（Gerolamo Cadano）引入-1的平方根，做為他求勝的秘密武器。卡丹諾不顧旁人的指摘，即使問題的答案通常是實數，也大膽地在冗長的計算中運用這個神秘的數。卡 丹諾並不知道這個技巧為什麼有用，他只知道這樣做可以得出正確答案。1545年，卡丹諾將想法出版，也開啟了為期數百年的爭議：-1的平方根是真實存在？ 或者只是一項技巧？約100年之後的思想家笛卡兒（Rene Descartes）提出裁決，語帶貶抑地稱它為「虛幻」（imaginary）的數，這個虛數現在記成i。

雖然如此，數學家跟隨卡丹諾的腳步，開始運用形如 a+bi的複數，其中a和b是普通的實數。1806年左右，瑞士業餘數學家阿爾岡（Jean-Robert Argand）宣揚以複數來描述平面的觀點。

用a+bi描述平面點的方法很簡單，a表示這個點的橫向位置，b表示縱向的位置，這樣就可以將複數視為平面上的點。不過阿爾岡想得更深入，他還說明了如何將複數的四則運算，解釋成平面上的幾何操作（參見91頁〈高維的數學〉）。

為了理解這些幾何操作，我們先從實數來暖身。在實數線上做加、減，就是往右或往左移動；而乘、除一個正實數，相當於將實數線做伸縮。例如乘以2，是將直線放大2倍；而除以2，則是縮小2倍，也就是將各點間的距離縮減2倍；若乘以-1，則是將直線左右翻轉。

類似的想法也可以用到複數，只是多了一些變化。將平面上一點加上a+bi，相當於將該點往右（左）移 動a，再往上（下）移動b。而乘以一個複數，則是除了將平面放大或縮小之外，還多了平面的旋轉。其中特別的是，乘以i相當於將平面逆時針轉1/4圈，因此 將1乘以i再乘以i，相當於將平面轉了半圈，也就是從1轉到-1。最後，除法是乘法的相反，因此除以一個複數，是將放大換成縮小，或是反過來將縮小換成放 大，然後再反方向旋轉。

大部份對實數能做的操作，對複數也都能做，而且事實上還做得更好，卡丹諾就深得箇中三昧，因為在複數 中我們能解的方程式比限制在實數時還多。如果二維的數系能提供我們更大的計算威力，那麼何不考慮更高維的數系呢？可惜，擴張沒那麼簡單。高維數系的秘密在 過了數十年後，才被一位愛爾蘭數學家揭開，然後到了兩個世紀之久後的現在，我們才開始理解它們的威力。

漢米爾頓的煉金術

1835年，時年30歲的愛爾蘭數學兼物理學家漢米爾頓（William Rowan Hamilton）發現了用實數對來處理複數的方法。當時的數學家多半採用阿爾岡提倡的a+bi寫法來表達複數，不過漢米爾頓注意到，複數a+bi也可以 用兩個實數a與b的某種特別記法來表示，例如實數對(a,b)。

這種記法在處理複數的加減法時特別容易，只要將對應位置的實數做加減就好了，同時漢米爾頓也研究出處理複數乘除法時，比較複雜的運算規則，並藉此保持了阿爾岡所發現的美好幾何意義。

在發明這個具有幾何意義的複數代數系統之後，漢米爾頓嘗試了非常多年，想要發明更大的三元數 (a,b,c)代數系統，希望它能在三維幾何裡扮演類似複數的角色，結果卻帶給他無盡的挫折。漢米爾頓曾經在給兒子的信中寫道：「每天早上……當我下樓吃 早餐時，你和年幼的弟弟威廉，總會習慣問我：『那個，爸，今天你把三元數乘起來了嗎？』當時的我也總是傷心地搖搖頭，不得不回答你們：『還不行，我只會做 加法和減法。』」當時的漢米爾頓並不知道，他給自己的這項挑戰在數學上是不可能完成的。

漢米爾頓在尋找的是一個可以做加、減、乘、除的三維數系，其中的難處在於除法。可以做除法的數系稱為 可除代數（division algebra）。直到1958年，才有三位數學家證明了一個懸宕幾十年的驚人事實：可除代數的維度只有四種可能：一維（實數）、二維（複數）、四維與八 維。因此除非漢米爾頓改變遊戲規則，否則根本不可能成功。

1843年10月16日，漢米爾頓自己找到了解決方法。當時他正和太太走在愛爾蘭都柏林的皇家運河 畔，準備到愛爾蘭皇家學院去開會。途中漢米爾頓突然心血來潮想到：在三維空間中，如果他想要描述旋轉與伸縮，不能只用三個數，他需要第四個數。於是漢米爾 頓創造了形如a+bi+cj+dk的四元數（quaternion），其中i、j、k都是-1 的平方根，彼此並不相等。

後來他回憶說：「在那一剎那，我腦中的電路突然中斷，迸出的火花就是i、j、k的基本方程式（見91頁上圖），此後我一直應用著它。」

當時，漢米爾頓還上演了數學史上知名的破壞文物大戲，他當下就將這個方程式刻在身邊布魯罕橋（Brougham Bridge）的石頭上。雖然橋上的真跡已經湮滅，但是原址現在有一塊石板以文字記錄著這項發現。

我們需要用到四維空間才能描述三維空間的變化，乍聽之下似乎很奇怪，不過的確是如此。因為其中有三個 數要用來描述三維空間中的旋轉：用開飛機來想像最容易解釋，為了定向，我們需要控制機身和水平面的夾角，稱為俯仰角（pitch）；其次我們也需要像開車 一樣控制左右轉角，這是偏航角（yaw）；最後還有控制機翼與水平面夾角的滾轉角（roll）。第四個數則是用來描述伸縮的程度。

漢米爾頓以他的餘生專研四元數，並發現了許多實際的應用。今日在實際應用時，四元數已被較簡單的向量 形式取代，大致上可以想成是少了第一個數的特殊四元數：ai+bj+ck。不過四元數仍然有其長處：它可以比較有效率地在電腦上表示旋轉，也適用於其他需 要類似效果的應用上，譬如太空船使用的姿態控制系統，或者電玩遊戲中的繪圖引擎。