字符串模式匹配算法2 - AC算法

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• 简介
• 构造示例
• C++简单实现

正文

上篇文章（http://www.cnblogs.com/zzqcn/p/3508442.html）里提到的BF和KMP算法都是单模式串匹配算法，也就是说，模式串只有一个。当需要在字符串中搜索多个关键字（模式）时，则需要用到多模式串匹配算法。

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简介

AC（Aho-Corasick）算法是一个经典的多模式串匹配算法，它借鉴了KMP算法的思想，可以由有限状态机（Finite State Automata：FSA）来表示。AC算法的基本原理是：

先根据多模式串建立一个有限状态自动机FSA，在进行模式匹配时，设当前状态为S_cur，输入串中的当前符号为C，运行FSA，试图得到下一状态S_next。如果S_next无效，即发生失配，则根据规则，将当前状态回退到一个适合的状态S_fail，然后重复上一过程，直到S_next有效或S_cur为0。在匹配的过程中，如果当前状态正好匹配了某个模式P，则输出它。

由AC算法的原理，我们可以知道，用于匹配的FSA与输入串无关，而只与模式串有关；匹配过程中如果发生失配，则FSA应回退到某一状态，而输入串指针无需回退。这两点都与KMP算法的思想吻合。

要实现基本的AC算法，即实现FSA逻辑，需要构建3样东西：

1. 状态跳转表goto ：决定对于当前状态S和条件C，如何得到下一状态S‘
2. 失配跳转表fail ： 决定goto表得到的下一状态无效时，应该回退到哪一个状态
3. 匹配结果输出表output ： 决定在哪个状态时输出哪个恰好匹配的模式

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构造示例

原理比较抽象，下面以一个简单而且经典的例子（来自于AC算法创始人的论文）来演示一下AC算法的原理及goto、fail、output这3个表的构建。设多模式为 {“he”, “she”, “his”, “hers”}。下面来一步一步构建FSA。

首先规定一个初始状态0，接着依次处理多个模式串，首先是he：

 

每个圆圈代表一个状态(State)，圆圈中的数字表示状态的编号；有向箭头代表状态的转换，它由当前状态指向下一状态，箭头上的字符表示此次状态转换的条件。

接下来是she，注意每处理一个模式串时，都要先回到起始状态0：

 

注意，如果给定条件C，从当前状态出发能转换到一个有效状态，那么只进行状态转换，而不创建新状态，这一点在处理后面两个模式串时可以看到。接着是his：

 

最后是hers，而且AC规定，当当前状态为初始状态（0）时，对于任意条件C来，都能转换到有效状态（这也避免了回退的死循环），因此，除了条件h和s外，对其他任意条件，状态0还应转换至状态0：

 

其实，最后的FSA图就表示了goto表，因为上面画的状态及状态转换都是有效的。另外，也可以自然地知道，每处理完一个模式时，FSA的当前状态都对应着此模式。因此，状态2，5，7，8分别对应模式he, she, his, hers，也就是2，5，7，8这4个状态对应的output表中的值。不过，到目前为止output表还未创建完成。

在下面的讨论中，我们用S’ = goto(S，C)表示状态S经由条件C转换到状态S‘，fail(S)表示状态S的fail表值，output(S)表示状态S的output表值。

goto表反映了有效的状态转换。而在fail表反映了转换失败时应回退到的状态。比如，设当前状态为2，当条件不是r时，状态转换就失败，必须回退到某一个合适的状态，这个状态就是状态2的fail值。而fail值的求法呢，和KMP算法中求next函数一样，可以用递推法来进行。

首先规定与状态0距离为1（即深度为1）的所有状态的fail值都为0。然后设当前状态是S₁，求fail(S₁)。我们知道，S₁的前一状态必定是唯一的（从FSA图也可以看出），设S₁的前一状态是S₂，S₂转换到S₁的条件为C，测试S₃ = goto(fail(S₂), C)，如果成功，则fail(S₁) = goto(fail(S₂), C)，如果不成功，继续测试S₄ = goto(fail(S₃), C)是否成功，如此重复，直到转换到某个有效的状态S_n，令fail(S₁) = S_n。

做为例子，我们来求状态3，4，5的fail值。首先，按照约定fail(3) == 0。接着求fail(4)，由于goto(fail(3), h) == goto(0, h) == 1，所以fail(4) == 1。接着求fail(5)，由于goto(fail(4), e) == goto(1, e) == 2，所以fail(5) == 2。在这里我们注意到，当FSA的状态转换到状态5时，不仅匹配了she，而且匹配了he，这意味着对两个状态S和S’，S>S’，如果fail(S) == S‘，则output(S)应添加output(S’)。这样一来，output表也构建完整了。fail表如下：

状态	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
fail值	N/A	0	0	0	1	2	0	3	0	3

3个表构建完成后，就可以对输入串进行模式匹配了。设输入串为“ushers”，则匹配过程如下：

符号	状态转换	输出
u	0->0
s	0->3
h	3->4
e	4->5	she he
r	5->2 2->8
s	8->9	hers

 注意，虽然扫描到符号r时经历了状态2，但那只是一个中间状态，之后立刻切换到状态8，因此并不输出output(2)的内容{he}，这也避免了模式”he”的重复输出。

至此，我们已经构建了goto，fail，output 3个必需的表。这时构建的FSA也叫做非确定性有限状态机（Nondeterministic Finite State Automata: NFA），也就是说，当匹配过程中发生失配时，应根据fail表进行状态回退，但具体回退到哪个状态为止，是不确定的，需要一次或多次循环回溯。可以预见，NFA会影响模式匹配的效率。可以通过构建确定性有限状态机（Deterministic Finite State Automata: DFA）来弥补这个缺陷，它的原理是，在当前状态下，对于任意条件，都可以确定地给出下一状态，而不需要进行循环。

设当前状态是S，条件为C，问题是如何求得下一个确定状态S‘。如果goto(S, C)成功，则S’ = goto(S, C)；否则，令S‘ = goto(fail(S), C)，如果S’有效且不为0，则S‘就是那个确定状态，此时，应把S’ = goto(S, C)这个关系添加到goto表中。可以预见，DFA会提高匹配速度，但由于向goto表添加了更多的条目，会导致存储消耗增加。

做为例子，我们来求状态1的确定状态{S’}。首先fail(1)==0。当C==e或i时，S‘不变，分别是2，6。当C==h时，由于goto(0，h)==1，所以S’==1。当C==s时，由于goto(0, s)==3，所以S’==3。对于其他条件C，goto(0, C)==0。因此，我们需要往之前构建的goto表添加两项：1=goto(1, h), 3=goto(1,s)。

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C++简单实现

下面，用简单的C++代码来实现前文所述的AC算法，包括NFA和DFA形式。

简单介绍一下宏定义、数据结构和各函数的作用：

名称	类型	说明
AC_FAIL_STATE	宏	无效/失败的跳转状态
AC_UNDEF_FAIL	宏	未定义的fail表值
AC_CONT_SIZE	宏	所有可能的条件，如果处理char字符，则范围是0-255
ac_transition	结构	goto表项，不含当前状态，因为它等于数组下标
FSAType	枚举	FSA类型，fail表创建后变为NFA，然后可以转换为DFA
ac_state_finder	函数对象	用于查找当前状态下符合输入条件的goto表项
ac_goto	函数	实现S'=goto(S, C)逻辑，用于goto表创建和模式匹配过程
ac_creat_goto_table	函数	创建goto表
ac_creat_fail_table	函数	创建fail表，完成后将实现NFA
ac_convert_to_DFA	函数	将NFA转换为DFA。会向goto表添加新项。完成后不再需要fail表
ac_print_goto_table	函数	打印所有状态及其对应的转换表、fail值（仅限NFA）、output值
ac_search	函数	AC搜索函数

还有，NFA和DFA的创建过程中，需要用到类似图的广度优先搜索（Breadth-First-Search：BFS）算法，因此用到了队列（std::queue）容器。

#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <string>
#include <cstdio>
using namespace std;




#define AC_FAIL_STATE -1
#define AC_UNDEF_FAIL -1
#define AC_CONT_SIZE    256




struct  ac_transition
{
    char  condition;
    int next;
};


enum FSAType
{
    FSA_NULL = 0,
    FSA_NFA,
    FSA_DFA
};




struct  ac_state_finder :
        public binary_function<ac_transition, char, bool>
{
    bool  operator() (const ac_transition& t, char c) const
    {
        return (t.condition == c);
    }
};




vector<vector<ac_transition>> goto_table;
vector<vector<string>> output_table;
vector<int> fail_table;
FSAType  fsa_type = FSA_NULL;




int ac_goto(int _state, char _cont);
int ac_creat_goto_table(const vector<string>& _ptns);
int ac_creat_fail_table();
int ac_convert_to_DFA();
int ac_print_goto_table();
int ac_search(const string& _txt);




int main(int argc, char** argv)
{
    string ss[4] = {"he", "she", "his", "hers"};
    vector<string> ptns(ss, ss+4);
    string txt = "ushers";


    ac_creat_goto_table(ptns);
    ac_creat_fail_table();
    ac_print_goto_table();
    ac_search(txt);


    ac_convert_to_DFA();
    ac_print_goto_table();
    ac_search(txt);


    return 0;
}




int ac_goto(int _state, char _cont)
{
    vector<ac_transition>::const_iterator ret =
        find_if(goto_table[_state].begin(), goto_table[_state].end(),
        bind2nd(ac_state_finder(), _cont));
    if(goto_table[_state].end() == ret)
    {
        if(0 == _state)
            return 0;
        else
            return AC_FAIL_STATE;
    }
    else
        return ret->next;
}




int ac_creat_goto_table(const vector<string>& _ptns)
{
    int state = 0;
    int state_id = 0;


    ac_transition t;
    vector<ac_transition> ts;
    vector<string> ss;


    goto_table.push_back(ts);
    output_table.push_back(ss);
    state_id++;


    for(vector<string>::const_iterator i = _ptns.begin(); i != _ptns.end(); ++i)
    {
        state = 0;
        for(string::const_iterator j=i->begin(); j<i->end(); ++j)
        {
            int next_state = ac_goto(state, *j);
            if(0 == next_state || AC_FAIL_STATE == next_state)
            {
                t.condition = *j;
                t.next = state_id++;
                goto_table[state].push_back(t);


                goto_table.push_back(ts);
                output_table.push_back(ss);


                state = t.next;
            }
            else
                state = next_state;
        }
        output_table[state].push_back(*i);
    }

    return 0;
}




int ac_creat_fail_table()
{
    if(goto_table.empty())
        return -1;


    fail_table.resize(goto_table.size());
    for(size_t i=0; i<goto_table.size(); ++i)
        fail_table[i] = AC_UNDEF_FAIL;


    queue<int> q;
    for(vector<ac_transition>::const_iterator i = goto_table[0].begin();
        i != goto_table[0].end(); ++i)
    {
        fail_table[i->next] = 0;
        q.push(i->next);
    }


    int state;
    while(!q.empty())
    {
        state = q.front(); q.pop();


        for(vector<ac_transition>::const_iterator i = goto_table[state].begin();
            i != goto_table[state].end(); ++i)
        {
            if(AC_UNDEF_FAIL != fail_table[i->next])
                continue;


            q.push(i->next);


            int prev_state = state, ret;
            do
            {
                prev_state = fail_table[prev_state];
                ret = ac_goto(prev_state, i->condition);
            } while (AC_FAIL_STATE == ret);


            fail_table[i->next] = ret;

            for(vector<string>::const_iterator j = output_table[ret].begin();
                j != output_table[ret].end(); ++j)
            {
                vector<string>::const_iterator sret =
                    find(output_table[i->next].begin(), output_table[i->next].end(), *j);
                if(output_table[i->next].end() == sret)
                    output_table[i->next].push_back(*j);
            }
        }
    }


    fsa_type = FSA_NFA;


    return 0;
}




int ac_convert_to_DFA()
{
    if(fsa_type != FSA_NFA)
        return -1;


    if(goto_table.empty() || fail_table.empty())
        return -1;


    queue<int> q;
    for(vector<ac_transition>::const_iterator i = goto_table[0].begin();
        i != goto_table[0].end(); ++i)
    { q.push(i->next); }


    int state;
    while(!q.empty())
    {
        state = q.front(); q.pop();


        for(size_t c=0; c<AC_CONT_SIZE; ++c)
        {
            int next_state = ac_goto(state, c);
            if(next_state != AC_FAIL_STATE && next_state != 0)
                q.push(next_state);
            else
            {
                next_state = ac_goto(fail_table[state], c);
                if(next_state != AC_FAIL_STATE && next_state != 0)
                {
                    ac_transition t;
                    t.condition = c;
                    t.next = next_state;
                    goto_table[state].push_back(t);
                }
            }
        }
    }


    fail_table.clear();
    fsa_type = FSA_DFA;


    return 0;
}




void  OutputMatch(int _state, size_t _pos)
{
    for(vector<string>::const_iterator i = output_table[_state].begin();
        i != output_table[_state].end(); ++i)
    {
        printf("%d %s : %d\n", _state, i->c_str(), _pos - i->length());
    }
}


int ac_search(const string& _txt)
{
    if(goto_table.empty() || FSA_NULL == fsa_type)
        return -1;


    int state = 0;
    string::size_type i;
    for(i=0; i<_txt.length(); ++i)
    {
        char c = _txt[i];
        if(output_table[state].size() > 0)
            OutputMatch(state, i);


        if(FSA_NFA == fsa_type)
        {
            while(AC_FAIL_STATE == ac_goto(state, c))
                state = fail_table[state];
            state = ac_goto(state, c);
        }
        else if(FSA_DFA == fsa_type)
        {
            state = ac_goto(state, c);
            if(AC_FAIL_STATE == state)
                state = 0;
        }
    }


    if(output_table[state].size() > 0)
        OutputMatch(state, i);


    return 0;
}




int ac_print_goto_table()
{
    if(goto_table.empty())
        return -1;


    int state_id = 0;
    for(vector<vector<ac_transition>>::const_iterator i = goto_table.begin();
        i != goto_table.end(); ++i, ++state_id)
    {
        printf("%d: ", state_id);


        if(FSA_NFA == fsa_type)
            printf("%d ", fail_table[state_id]);


        for(vector<ac_transition>::const_iterator j = i->begin();
            j != i->end(); ++j)
        {
            printf("%c->%d ", j->condition, j->next);
        }


        for(vector<string>::const_iterator j = output_table[state_id].begin();
            j != output_table[state_id].end(); ++j)
        {
            printf("(%s) ", j->c_str());
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");


    return 0;
}

输出结果：

0: -1 h->1 s->3
1: 0 e->2 i->6
2: 0 r->8 (he)
3: 0 h->4
4: 1 e->5
5: 2 (she) (he)
6: 0 s->7
7: 3 (his)
8: 0 s->9
9: 3 (hers)
she : 1
he : 2
hers : 2




0: h->1 s->3
1: e->2 i->6 h->1 s->3
2: r->8 h->1 s->3 (he)
3: h->4 s->3
4: e->5 h->1 i->6 s->3
5: h->1 r->8 s->3 (she) (he)
6: s->7 h->1
7: h->4 s->3 (his)
8: s->9 h->1
9: h->4 s->3 (hers)
she : 1
he : 2
hers : 2