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2011-09-18 15:10:20
2010-06-29 10:44:06| 分类： 默认分类 | 标签： |字号大中小
最近又开始辗转计算NH3BH3的弹性常数了。
还是VASP软件，首先还是很感谢论坛上的各位前辈：）
在计算弹性常数时，还是参考的是侯老师的指南，最近很迷恋这个。
下面先转载一篇别人的日志：
关键词：第一性原理计算（First-principles calculations） 刚度矩阵（Stiffness matrix） 晶系（Lattice system）
1. 弹性模量矩阵元
对于足够小的变形，由胡克定律（Hooke's Law）可知，应力与应变成正比，即应力分量是应变分量的线性函数，用矩阵的形式可以表示为：
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T1 |
|
C11 |
C12 |
C13 |
C14 |
C15 |
C16 |
|
S1 |
|
T2 |
|
C12 |
C22 |
C23 |
C24 |
C25 |
C26 |
|
S2 |
|
T3 |
= |
C13 |
C23 |
C33 |
C34 |
C35 |
C36 |
? |
S3 |
|
T4 |
|
C14 |
C24 |
C34 |
C44 |
C45 |
C46 |
|
S4 |
|
T5 |
|
C15 |
C25 |
C35 |
C45 |
C55 |
C56 |
|
S5 |
|
T6 |
|
C16 |
C26 |
C36 |
C46 |
C56 |
C66 |
|
S6 |
式中Cij就是我们通常所说的弹性模量，可以证明，上述刚度矩阵为对称阵，Cij=Cji，因此，弹性模量的独立张量元数目至多只有21个。晶系的对称性越高，独立的张量元数目就越少。需要指出的是，Cij的数目只与晶系有关，而与晶系中具体的对称类型无关。
下面分别讨论七种不同晶系的弹性模量矩阵元：
1.1 三斜晶系（Triclinic system）
三斜晶系是所有七大晶系中对称性最低的晶系，因此拥有最多的独立矩阵元，其形式为：
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C11 |
C12 |
C13 |
C14 |
C15 |
C16 |
|
C12 |
C22 |
C23 |
C24 |
C25 |
C26 |
|
C13 |
C23 |
C33 |
C34 |
C35 |
C36 |
|
C14 |
C24 |
C34 |
C44 |
C45 |
C46 |
|
C15 |
C25 |
C35 |
C45 |
C55 |
C56 |
|
C16 |
C26 |
C36 |
C46 |
C56 |
C66 |
共有21个独立的刚度矩阵元，求解过程也因此较为复杂。
1.2 单斜晶系（Monoclinic system）
|
C11 |
C12 |
C13 |
0 |
0 |
C16 |
|
C12 |
C22 |
C23 |
0 |
0 |
C26 |
|
C13 |
C23 |
C33 |
0 |
0 |
C36 |
|
0 |
0 |
0 |
C44 |
C45 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
C45 |
C55 |
0 |
|
C16 |
C26 |
C36 |
0 |
0 |
C66 |
考虑对称性后，单斜晶系有11个独立的矩阵单元。
1.3 正交晶系（Orthorhombic system）
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C11 |
C12 |
C13 |
0 |
0 |
0 |
|
C12 |
C22 |
C23 |
0 |
0 |
0 |
|
C13 |
C23 |
C33 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C55 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C66 |
从上式可以看出，正交晶系拥有相当高的对成性，其独立刚度矩阵元的数目为8个。
1.4 四方晶系（Tetragonal system）
1.4.1 四方晶系（4，-4，4/m）
对于具有4，-4，4/m对称操作的四方晶系，其弹性矩阵的形式为：
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C11 |
C12 |
C13 |
0 |
0 |
C16 |
|
C12 |
C22 |
C23 |
0 |
0 |
-C16 |
|
C13 |
C23 |
C33 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
|
C16 |
-C16 |
0 |
0 |
0 |
C66 |
其独立刚度矩阵元的数目也为8个。
1.4.2 四方晶系（422，4mm，-42m，4/mmm）
对于具有422，4mm，-42m，4/mmm对称操作的四方晶系，其弹性矩阵的形式为：
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C11 |
C12 |
C13 |
0 |
0 |
0 |
|
C12 |
C11 |
C13 |
0 |
0 |
0 |
|
C13 |
C13 |
C33 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C66 |
独立刚度矩阵元的数目仅为6个。
1.5 三角晶系（Trigonal system）
1.5.1三角晶系（3，3）
|
C11 |
C12 |
C13 |
C14 |
C15 |
0 |
|
C12 |
C11 |
C13 |
-C14 |
-C15 |
0 |
|
C13 |
C13 |
C33 |
0 |
0 |
0 |
|
C14 |
-C14 |
0 |
C44 |
0 |
-C45 |
|
C15 |
-C15 |
0 |
0 |
C44 |
C14 |
|
0 |
0 |
0 |
-C45 |
C14 |
(C11-C12)/2 |
三角晶系（3，3）的独立刚度矩阵元的数目为8个。
1.5.2三角晶系（32，3m，32/m）
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C11 |
C12 |
C13 |
C14 |
0 |
0 |
|
C12 |
C11 |
C13 |
-C14 |
0 |
0 |
|
C13 |
C13 |
C33 |
0 |
0 |
0 |
|
C14 |
-C14 |
0 |
C44 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C44 |
C14 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C14 |
(C11-C12)/2 |
三角晶系（32，3m，32/m）的独立刚度矩阵元的数目为6个。
1.6 六角晶系（Hexagonal system）
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C11 |
C12 |
C13 |
0 |
0 |
0 |
|
C12 |
C11 |
C13 |
0 |
0 |
0 |
|
C13 |
C13 |
C33 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
(C11-C12)/2 |
六角晶系共有5个独立的刚度矩阵元。
1.7 立方晶系（Cubic system）
|
C11 |
C12 |
C12 |
0 |
0 |
0 |
|
C12 |
C11 |
C12 |
0 |
0 |
0 |
|
C12 |
C12 |
C11 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
C44 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C44 |
立方晶系是所有晶系中对称度最高的晶系，其独立的刚度矩阵元数目仅为3个。
至此，我们列出了所有七大晶系的刚度矩阵元，只要求出各晶系对应的所有独立矩阵元，即可得到晶体的刚度矩阵。
参考文献：方俊鑫，陆栋.固体物理学.上海科技教育出版社.1980.87-95
