题：4对夫妇坐一排，没有一对夫妇相邻的概率是多少

题目：4对夫妇坐一排，没有任何一对夫妇相邻的概率是多少？
  首先计算总的样本空间，即8个人坐一排的总排列数8!=40320.然后计算出符合要求的排列数，来除以40320.

  这道题在百度上也有几种解法，不过都是错的。
  这道题出现再《概率论基础教程第8版》第二章53题。网上有电子版答案，不过只给了一个结果为12/35.
  现在我们仔细分析一下这道题。
  思路，我们将4对夫妇坐一排，且没有一对夫妇相邻的排列数记为P(4_0)。假定前面3对夫妇已经排好，再将第4对夫妇插入他们之间或者边上，使插入后的排列里没有一对夫妇相邻。

  首先，3对夫妇排好后有4种情况：
1.没有任何夫妇相邻，排列数记为P(3_0)
2.刚好有一对夫妇相邻，排列数记为P(3_1)
3.有两队夫妇相邻，排列数记为P(3_2)
4.三对夫妇都相邻，排列数记为P(3_3)

  图例用“|”表示一个人，“.”表示人旁边的空位，“*'表示它旁边的两个人是一对夫妇。
  为了得到4对夫妇都没有相邻的情况，我们从3对夫妇的各种排列入手。
(1)对于P(3_0)的某个排列，画图为
.|.|.|.|.|.|.
  若把第四对夫妇分别插入7个空位，则仍然保持没有夫妇相邻。一共有7x6xP(3_0)种方法。
  第四对夫妇不能同时插入一个空位，这样第四对夫妇自身相邻，违反要求。

(2)对于P(3_1)的某个排列，画图为
.|.|*|.|.|.|.
  如果我们用第四对夫妇去把相邻那对夫妇分开，且第四对夫妇自己不挨在一起，则可以达到要求。首先将第四对夫妇中任意一个插入相邻夫妇之间，有2种选法，剩下那个人可以插入其余6个空位。一共是2x6xP(3_1)种。
  第四对夫妇同时插入某个空位，或者插入*号位都不符合要求。

(3)对于P(3_2)的某个排列，画图为
.|*|.|*|.|.|.
  如果我们用第四对夫妇去把相邻的两对夫妇都分开。则结果符合要求。即将第四对夫妇分别插入2个*号位置，一共是2xP(3_2)种。

(4)对于P(3_3)的情况，我们没有办法用一对夫妇同时把三对相邻的夫妇分开。

  现在要计算P(3_0), P(3_1)和P(3_2)
  同样，对于P(3_0),先假定前两对夫妇已经排好，再将第三对插入。
  两对夫妇已经排好有以下三种情况：
1.没有一对夫妇相邻，记P(2_0)
2.恰有一对夫妇相邻，记P(2_1)
3.两对夫妇都相邻，记P(2_2)

  计算P(3_0):
(1)对于P(2_0)的排列，画图为
.|.|.|.|.
  若把第三对夫妇分别插入5个空位，则保持没有夫妇相邻，一共5x4xP(2_0)
  不能把第三对夫妇同时插入一个空位，否则违反要求。
(2)对于P(2_1)的排列，画图为
.|.|*|.|.
  我们把第三对夫妇插入后，要将相邻的那对夫妇分开，且第三对夫妇本身不能相邻，这样就可以得到一个没有夫妇相邻的排列。
将第三对夫妇种任一个插入相邻夫妇的中间，有2种选法，剩下那个人插入其余4个空位，一共是2x4xP(2_1)种。
  不能把第三对夫妇同时插入某个空位或*号处。
(3)对于P(2_2)的排列，画图为
.|*|.|*|.
  我们必须用第三对夫妇把前面两对夫妇都分开，才能得到没有夫妇相邻的排列。也就是第三对夫妇只能分别插入两个*号所在位置，有2种方法。一共是2xP(2_2)种。

  计算P(3_1):
(1)对于P(2_0)的排列，画图为
.|.|.|.|.
  只有把第三对夫妇作为一个整体插入5个空位之一，才能得到有一对夫妇相邻的排列。一共2x5xP(2_0)种
(2)对于P(2_1)的排列，画图为
.|.|*|.|.
  这里有两种方式：
  (a)插入后，不分开相邻那对夫妇，且第三对夫妇自身不相邻，则得到有一对夫妇相邻的排列。即将第三对夫妇分别插入4个空位里，一共有4x3xP(2_1)种排列。
  (b)插入后，将相邻那对夫妇分开，但第三对夫妇自身变为相邻，这样也得到有一对夫妇相邻的排列。即将第三对夫妇作为整体插入*所在位置，一共是2xP(2_1)种排列。
(3)对于P(2_2)的排列，画图为
.|*|.|*|.
  我们只有一种方式插入，就是将其中一对夫妇分开，且第三对夫妇自身不相邻。任选一对夫妇来被分开，有2种选法，然后从第三对夫妇里任意选一个来插入选定的夫妇之间，又有2种选法，剩下的那个人插入3个空位之一。一共是2x2x3xP(2_2)种。

  计算P(3_2)
(1)对于P(2_0)，我们无法通过插入一对夫妇来得到有两对夫妇相邻的排列。
(2)对于P(2_1),画图为
.|.|*|.|.
  我们必须将第三对夫妇作为一个整体插入，且不能分离原来相邻那对夫妇，才能得到有两对夫妇相邻的排列。即将第三对夫妇作为整体插入4个空位之一。一共2x4xP(2_1)种。
(3)对于P(2_2),画图为
.|*|.|*|.
  这里有两种方式：
  (a)插入后，不分开原来相邻的两对夫妇，且第三对夫妇自己不相邻。则所得仍然是有两队夫妇相邻的排列。即将第三对夫妇分别插入3个空位处，有3x2xP(2_2)种。
  (b)插入后，将其中某一对夫妇分开，但第三对夫妇自己相邻，所得也是有两队夫妇相邻的排列。即将第三对夫妇作为整体插入某个*号位置，一共是2x2xP(2_2)种。

  现在要计算P(2_0),P(2_1),P(2_2)，先假定有一对夫妇已经排好，则其必然相邻，记排列数为P(1_1)，则P(1_1)=2。

  计算P(2_0)
对于P(1_1)的任一一种排列，如图
.|*|.
  则插入第二对夫妇后，要分开原来那对夫妇，且第二对夫妇自己不相邻。即将第二对夫妇任意一个插入*号位置，另一个插入2个空格之一，一共是2x2xP(1_1)种。

  计算P(2_1)
  仍然是两种方式：
  (a)不分开原来相邻那对夫妇，且第二对夫妇自己不相邻。所得为有一对夫妇相邻的排列。即将第二对夫妇分别插入2个空位处，有2xP(1_1)种方法。
  (b)分开原来相邻那对夫妇，但第二对夫妇自己相邻。所得也是有一对夫妇相邻的情况。即将第二对夫妇作为整体插入*号位置，一共是2xP(1_1)种。

  计算P(2_2)
  只有一种插入法，即将第二对夫妇作为整体插入，且不分开原来相邻那对夫妇。即将第二对夫妇作为整体插入2个空位之一。一共是2x2xP(1_1)种。

  现在将P(1_1)=2代入得
P(2_0)=2x2x2=8
P(2_1)=2x2+2x2=8
P(2_2)=2x2x2=8
  现在再往回代入
P(3_0)=(5x4x8)+(2x4x8)+(2x8)=240
P(3_1)=(2x5x8)+((4x3x8)+(2x8))+(2x2x3x8)=288
P(3_2)=(2x4x8)+((3x2x8)+(2x2x8))=144
  最后计算P(4_0)
P(4_0)=(7x6x240)+(2x6x288)+(2x144)=13824
  然后计算13824/40320=12/35，得正确结果。