2008年（9）
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2008-05-09 17:24:33
这一段被老板逼着论文开题，自己找方向比较着急，最后选择了供应链控制理论的一个方向。我要写的论文，用到了Matlab的LMI工具，以及某篇论文中的H-inf稳定定理。自己好好研究了好长时间，怎么也无法实现该论文当中的算例。研究了一个多月，自己简直就快崩溃了，也搞不定问题。我很是怀疑自己的选题是不是正确，并且怀疑自己是不是选的太难了。如果连论文中的算例都无法实现，如何把该模型应用到自己论文当中呢？功夫不负有心人，昨日我加入了Mathworks的Matlab的Newsgroup，结果碰见一牛人Johan，立即就把论文中的算例给写成程序。但是他做出的结果和论文仍然有差别，我仍有点不甘心，人家的论文发表在Automatica上，如果连这种期刊都水的要命，那么就没有什么学术水平了。
今天中午，仍然不甘心，老爸给我打了电话让我看红场阅兵，于是我边看PPMate边漫无边际的核对着自己的程序。终于做出了和算例一致的结果。
我搜出来的都是一些简单的算例，并且机会没有中文教程，我在这里就斗胆把自己的体会写出来，试着给大家提供一点参考。
LMI：Linear Matrix Inequality，就是线性矩阵不等式。
在Matlab当中，我们可以采用图形界面的lmiedit命令，来调用GUI接口，但是我认为采用程序的方式更方便（也因为我不懂这个lmiedit的GUI）。
对于LMI Lab， 其中有三种求解器（solver）： feasp，mincx和gevp。
每个求解器针对不同的问题：
feasp：解决可行性问题（feasibility problem），例如：A(x)
mincx：在线性矩阵不等式的限制下解决最小化问题（Minimization of a linear objective under LMI constraints），例如最小化c'x，在限制条件A(x) < B(x)下。
gevp：解决广义特征值最小化问题。例如：最小化lambda，在0
要解决一个LMI问题，首要的就是要把线性矩阵不等式表示出来。
对于以下类型的任意的LMI问题
N' * L(X1, . . . , XK) * N < M' * R(X1, . . . , XK) * M
其中X1, . . . , XK是结构已经事先确定的矩阵变量。左侧和右侧的外部因子（outer factors）N和M是给定的具有相同维数的矩阵。
左侧和右侧的内部因子（inner factors）L(.)和R(.)是具有相同结构的对称块矩阵。每一个块由X1, . . . , XK以及它们的转置组合而成形成的。
解决LMI问题的步骤有两个：
1、定义维数以及每一个矩阵的结构，也就是定义X1, . . . , XK。
2、描述每一个LMI的每一项内容（Describe the term content of each LMI）
此处介绍两个术语：
矩阵变量（Matrix Variables）：例如你要求解X满足A(x)
变量。
项（Terms）：项是常量或者变量（Terms are either constant or variable）。
常项（Constant Terms）是确定的矩阵。可变项（Variable Terms)是哪些含有矩阵变
量的项，例如：X*A, X*C'。如果是X*A + X*C'，那么记得要把它当成两项来处理。
好了废话不说了，让我们来看个例子吧（下面是一线性时滞系统）。
语法：X = lmivar(type,struct)
type=1: 定义块对角的对称矩阵。 每一个对角块或者是全矩阵<任意对称矩阵>，标量<单位矩阵的乘积>，或者是零阵。
如果X有R个对角块，那么后面这个struct就应该是一个Rx2阶的的矩阵，在此矩阵中，struct(r,1)表示第r个块的大小，struct(r,2) 表示第r个块的类型<1--全矩阵，0--标量，-1--零阵）。
比如一个矩阵有两个对角块，其中一个是2x2的全对称矩阵，第二个是1x1的一个标量，那么该矩阵变量应该表示为X = lmivar(1, [2 1; 1 0]) 。
type=2: mxn阶的矩阵，只需要写作struct = [m,n]即可。
type=3: 其它类型。针对类型3，X的每一个条目（each entry of X）被定义为0或者是+(-)xn，此处xn代表了第n个决策变量。
那么针对我们的例子，我们如此定义变量：
% Q is a symmetric matrix, has a block size of 2 and this block is symmetric
Q = lmivar(1, [2 1]);
% S1 a symmeric matrix, size 2
S1 = lmivar(1, [2 1]);
% S2 is 1 by 1 matrix
S2 = lmivar(1, [1 0]);
% Type of 2, size 1 by 2
M = lmivar(2, [1 2]);
定义完成变量之后，我们就该用lmiterm来描述LMI中的每一个项了。Matlab的官方文档提示我们，如果要描述一个LMI只需要描述上三角或者下三角元素就可以了，否则会描述成另一个LMI。
When describing an LMI with several blocks, remember to specify only the terms in the blocks on or below the diagonal (or equivalently, only the terms in blocks on or above the diagonal).
语法为：lmiterm(termID,A,B,flag)
termID是一个四维整数向量，来表示该项的位置和包含了哪些矩阵变量。
termID(1)可以为+p或者-p，+p代表了这个项位于第p个线性矩阵不等式的左边，-p代表了这个项位于第p个线性矩阵不等式的右边。注意：按照惯例来讲，左边通常指较小的那边。
termID(2:3):
1、对于外部变量来说，取值为[0,0];
2、对于左边或者右边的内部变量来说，如果该项在(i,j)位置，取值[i,j]
termID(4):
1、对于外部变量，取值为0
2、对于A*X*B，取值X
3、对于A*X'*B，取值-X
flag(可选，值为s）:
因为：(A*X*B) + (A*X*B)T = A*X*B + B'*X'*A'，所以采用s来进行简写。
比如：针对A*X + X'*A'
我们采用笨方法：
lmiterm([1 1 1 X],A,1)
lmiterm([1 1 1 -X],1,A')
那么简写就是lmiterm([1 1 1 X],A,1,'s')
接下来我们就看该论文中的算例吧：(1,1)位置是
-Q+Bd*S2*Bd'+Ad*S1*Ad';
我们应该表示为：
% pos in (1, 1)
lmiterm([1 1 1 Q], -1, 1);
lmiterm([1 1 1 S2], Bd, Bd');
lmiterm([1 1 1 S1], Ad, Ad');
其它位置仿照写就行了，不懂了多看帮助文档。
把每一个项都定义以后，要记得
lmis = getlmis;
[tmin, feas] = feasp(lmis)
getlmis:是在完成定义变量和项之后，LMI系统的内部表示就可以通过此命令获得（After completing the description of a given LMI system with lmivar and lmiterm, its internal representation lmisys is obtained with the command）。
feasp是调用feasp求解器，看有没有可行解。feas就是可行解。
下面我把代码贴上去，那些常数矩阵都在此源程序中定义了。
A = [2 1; 0 1];
Ad = [0.2 0.1; 0 0.1];
B1 = [0.1 0.1]';
B2 = [1 1]';
Bd = [0.1 0.1]';
C = [1, 1];
Cd = [0.1, 0.1];
D11 = 0.1;
D12 = 1;
Dd = 0.1;
gammar = 1;
% Initial a LMI system
setlmis([]);
% Define Variables
% Q is a symmetric matrix, has a block size of 2 and this block is symmetric
Q = lmivar(1, [2 1]);
% S1 a symmeric matrix, size 2
S1 = lmivar(1, [2 1]);
% S2 is 1 by 1 matrix
S2 = lmivar(1, [1 0]);
% Type of 2, size 1 by 2
M = lmivar(2, [1 2]);
% Q, S1, S2 > 0
lmiterm([-2 1 1 Q], 1, 1);
lmiterm([-3 1 1 S1], 1, 1);
lmiterm([-4 1 1 S2], 1, 1);
% pos in (1, 1)
lmiterm([1 1 1 Q], -1, 1);
lmiterm([1 1 1 S2], Bd, Bd');
lmiterm([1 1 1 S1], Ad, Ad');
% pos (1, 2)
lmiterm([1 1 2 Q], A, 1);
lmiterm([1 1 2 M], B2, 1);
% pos(1, 3)
lmiterm([1 1 3 0], B1);
% pos(1, 4)
lmiterm([1 1 4 S2], Bd, Dd');
lmiterm([1 1 4 S1], Ad, Cd');
% pos(2, 2)
lmiterm([1 2 2 Q], -1, 1);
% pos(2, 4)
lmiterm([1 2 4 Q], 1, C');
lmiterm([1 2 4 -M], 1, D12');
% pos(2, 5)
lmiterm([1 2 5 -M], 1, 1);
% pos(2, 6)
lmiterm([1 2 6 Q], 1, 1);
% pos(3, 3)
lmiterm([1 3 3 0], -(gammar^2));
% pos(3, 4)
lmiterm([1 3 4 0], D11');
% pos(4, 4)
lmiterm([1 4 4 0], -1);
lmiterm([1 4 4 S1], Cd, Cd');
lmiterm([1 4 4 S2], Dd, Dd');
lmiterm([1 5 5 S2], -1, 1);
lmiterm([1 6 6 S1], -1, 1);
lmis = getlmis;
[tmin, feas] = feasp(lmis)
运行后，就调用dec2mat把决策变量转化为矩阵形式。
Q = dec2mat(lmis, feas, Q)
Q =
1.9253 -2.2338
-2.2338 9.1054
可以看到，和论文中的一样。
