也谈NP问题

也谈NP问题

方舟の女

楼下那位Mr.X扯淡么！连什么叫做NP问题都没有搞清楚，
就胡乱科普，误人子弟，本女本不想插嘴，只是这网上
这么多人，竟然没有人出来纠正他这个常识性的错误。

NP并不是NON-POLYNOMIAL，把NP说成是NON-POLYNOMIAL，
是望文生义，读书不求甚解。事实上，如果你能够证明某个
NP问题是个NON-POLYNOMIAL的问题，你就可以去领那七个
百万美元数学大奖中间的一个了。

数学上著名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即
“NP COMPLETE”问题，简单的写法，是 NP=P？的问题。
问题就在这个问号上，到底是NP等於P，还是NP不等於P。
证明其中之一，便可以拿百万美元大奖。

这个奖还没有人拿到，也就是说，NP问题到底是Polynomial，
还是Non-Polynomial，尚无定论。Mr. X信口开河敢说NP就是
Non-Polynomial，真是不知天高地厚，惹人笑话。

NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，
P代表Polynomial倒是对的。NP就是Non-deterministic Polynomial
的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。

什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如
加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，
就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地
计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你
一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少
呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数
的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算
出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。

这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接
的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些
问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但
可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。
这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以
在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而
如果这个问题的所有可能答案，都是可以在多项式时间内
进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。

完全多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个
检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的复杂程度，
是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的
增长，很快便变得不可计算了。

人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换
为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的
所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们於是就
猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在指数
时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名
的NP=P？的猜想。

解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，
只要针对某个特定NP完全问题找到一个算法，所有这类问题
都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外
的一种可能，就是这样的算法是不存在的。那么就要从数学
理论上证明它为什么不存在。

前段时间轰动世界的一个数学成果，是几个印度人提出了一个
新算法，可以在多项式时间内，证明某个数是或者不是质数，
而在这之前，人们认为质数的证明，是个非多项式问题。
可见，有些看来好象是非多项式的问题，其实是多项式问题，
只是人们一时还不知道它的多项式解而已。