二叉树的还原

二叉树的三种遍历常用于恢复：先序，中序，后序。对于先+中，后+中这两种组合，对任意二叉树的恢复都有唯一解，但对先+后的情况则不是，这种情况下要满足要求：对所有非叶节点，其两个子节点都存在，也即，一个节点要么是叶节点，要么有两个节点。

典型的恢复方法是递归建构节点的左，右子树。一个一个看：

假设二叉树原型如下，为了方便，节点的值刚好等于层次遍历索引

先序：
1,2,4,5,10,11,3,6,7,
中序：
4,2,10,5,11,1,6,3,7,
后序：
4,10,11,5,2,6,7,3,1,

先+中恢复：

对先序，注意第一个节点是根节点，其遍历顺序是中左右，因此，若把第一个节点作为基准，则其左右子树连续存储在该节点之后，不过，目前我们还不知道到底左右子树的分界点在哪，因此需要结合中序来确定其分界点。先序的第一个节点在中序的第5个位置（从0开始算），而我们知道中序的存储顺序是：先中后，因此，对中序列，该节点的左边是其左子树，右边是右子树。因此，根据节点在中序中的位置可以确定其左子树的元素个数，对应到先序即可得到该节点的左，右子树分别在先，中序的位置。根据上述信息就可递归的恢复根节点的左，右子树，进而得到整个树。

后+中：

与上述类似，只不对后序，根节点在末尾，其它的可依此类推。

先+后：

这种情况下恢复的二叉树不一定有唯一解，考虑如下的树：

         1

       /

    2

先序：1,2

后序：2,1

与

 1

       \

           2

先序: 1,2

后序：2,1

可看到不同的树，先，后序遍历是一样的。

其唯一解的条件文章开头已经说过了。不过没有经过严格考究！

这里只针对有唯一解的情况做讨论，还考虑上图的例子，结合实例描述如下：

先序：
1,2,4,5,10,11,3,6,7,
后序：
4,10,11,5,2,6,7,3,1,

对先序，第一个节点与后序最后节点对应，然后再看先序的第二个节点（值为2），我们知道，如果先序存在子树，则必同时存在左右子树，因此可断定，第二个节点正是根节点的左子树节点，可先恢复成：

           1

       /

  2

而它又把后序分成两个部分，一左一右（右边不包括最末的根节点）：左（4,10,11,5,2），右（6,7,3），说到这里，再结合上图，一切都明白了：“左”正是根的左子树，“右”正是根的右子树。于是，我们又得到了根节点的左右子树，递归，搞定。

上代码：

typedef struct tagTREE
{
    int val;        //值
    tagTREE* left;  //左节点
    tagTREE* right; //右节点
    tagTREE* parent;//父节点（有时候为了方便，不一定都定义它）
    bool isVisited; //标记该结点是否已访问，给某些特殊操作准备
}TREE;
template<class T>
void show(T* vec,int N)
{
    for (int i=0;i<N;++i)
    {
        cout<<vec[i]<<",";
    }
    cout<<endl;
}
//按数组里指定的层次数值，生成任意二叉树结构，数组里缺失的数值表示对应该层次的该节点没有
void CreateTree(TREE** node, int a[], int N )
{
    //预处理，记录节点在全部节点中的索引，而不是其真正位置号
    cout<<endl;
    int* arr = new int[a[N-1]];
    for (int i=0;i<a[N-1];++i)
    {
        arr[ i ] = 0;
    }
    int k=0;
    for (int i=0;i<N;++i)
    {
        arr[ a[i]-1 ] = i;
    }

    TREE* arrTree = new TREE[N];

    //root
    arrTree[0].parent = NULL;

    for (int i=1;i<=N;++i)
    {
        arrTree[i-1].val = a[i-1];
        arrTree[i-1].isVisited = false;
        int parentIdx = int(a[i-1] / 2);

        if( parentIdx == 0 )
            arrTree[i-1].parent = NULL;
        else
            arrTree[i-1].parent = &arrTree[ arr[ parentIdx-1 ] ];

        int leftIdx = int(a[i-1] * 2 );
        int rightIdx = leftIdx + 1;

        if (  leftIdx > a[N-1] || arr[leftIdx-1] == 0 )
        {
            arrTree[i-1].left = NULL;
        }
        else
        {
            arrTree[i-1].left = &arrTree[ arr[ leftIdx-1 ] ];
        }

        if ( rightIdx > a[N-1] || arr[rightIdx-1] == 0 )
        {
            arrTree[i-1].right = NULL;
        }
        else
        {
            arrTree[i-1].right = &arrTree[ arr[ rightIdx-1 ] ];
        }

    }
    *node = arrTree;

    //test
    for (int i=1;i<=N;++i)
    {
        cout<<"val="<<arrTree[i-1].val;
        cout<<" left=";
        if (arrTree[i-1].left)
        {
            cout<<arrTree[i-1].left->val;
        }
        cout<<" right=";
        if (arrTree[i-1].right)
        {
            cout<<arrTree[i-1].right->val;
        }
        cout<<" parent=";
        if (arrTree[i-1].parent)
        {
            cout<<arrTree[i-1].parent->val;
        }
        cout<<endl;
    }
}
//先序遍历，第一个参数是二叉树的头结点，第二个参数是用于记录遍历序列的数组，下同
void PreOrder(TREE* pTree,int** out)
{
    if( !pTree )
        return;
    *(*out)++ = pTree->val;

    if ( pTree->left )
        PreOrder(pTree->left,out);
    if ( pTree->right )
        PreOrder(pTree->right,out);
}
void InOrder(TREE* pTree,int** out)
{
    if( !pTree )
        return;
    if ( pTree->left )
        InOrder(pTree->left,out);
    *(*out)++ = pTree->val;
    if ( pTree->right )
        InOrder(pTree->right,out);
}
void PostOrder(TREE* pTree,int** out)
{
    if( !pTree )
        return;
    if ( pTree->left )
        PostOrder(pTree->left,out);
    if ( pTree->right )
        PostOrder(pTree->right,out);
    *(*out)++ = pTree->val;
}

//先+中恢复二叉树
TREE* pre_in(const int* pre,const int* in, int n)
{
    if( n == 0 )
        return NULL;

    TREE* head = new TREE();
    //先序的第一个节点是根节点
    head->val = pre[0];
    head->parent = NULL;
    //由根节点在中序的位置，基左边是根的左子树，右边是右子树
    int i=0;
    for (;i<n;++i)
    {
        if( pre[0] == in[i] )
            break;
    }
    //递归的构建节点的左右子树，这里需要确定左/右子树对应的先序/中序段
    TREE* left  = pre_in( pre+1,in,i );
    TREE* right = pre_in( pre+i+1,in+i+1,n-i-1 );

    head->left = left;
    head->right = right;
    //返回头节点
    return head;
}
//后+中恢复二叉树
TREE* post_in(const int* post,const int* in, int n)
{
    if (n==0)
        return NULL;

    TREE* head = new TREE();
    //后序与先序类似，最后一节点是根节点
    head->val = post[n-1];
    head->parent = NULL;
    //确定根在中序中的位置
    int i=0;
    for (;i<n;++i)
    {
        if( post[n-1] == in[i] )
            break;
    }
    //递归的构建左右子树，这里需要确定左/右子树对应的后序/中序段
    TREE* left  = post_in(post,in,i);
    TREE* right = post_in(post+i,in+i+1,n-i-1);

    head->left = left;
    head->right = right;

    return head;
}

//先+后恢复二叉树
TREE* pre_post(const int* pre,const int* post, int n)
{
    if (n==0)
        return NULL;

    TREE* head = new TREE();

    head->val = pre[0];
    head->parent = NULL;

    //对有唯一解的二叉树，若将先序的第一个节点当做父节点，则第二个节点pre[1]必是左子树节点
    //pre[1]在后序中的位置确定了pre[0](post[n-1])的左右子树范围
    if( n < 2 )
        return head;

    int i = 0;
    for (;i<n-1;++i)
    {
        if( pre[1] == post[i] )
            break;
    }

    TREE* left  = pre_post(pre+1,post,i+1);
    TREE* right = pre_post(pre+i+2,post+i+1,n-i-2);

    head->left = left;
    head->right = right;

    return head;
}

int _tmain(int argc,char* argv[])
{
    TREE* pTree = new TREE();

    //任意二叉树，不能用于测试pre_post函数
    //const int N = 7;
    //int a[N] = {1,2,3,4,5,6,11};

    //先+后有唯一解的二叉树，用于测试pre_post函数
    const int N = 9;
    int a[N] = {1,2,3,4,5,6,7,10,11};

    CreateTree(&pTree,a,N);


    int pre[N];
    int in[N];
    int post[N];

    int* pre_ptr  = (int*)pre;
    int* in_ptr   = (int*)in;
    int* post_ptr = (int*)post;

    PreOrder(pTree,&pre_ptr);
    InOrder(pTree,&in_ptr);
    PostOrder(pTree,&post_ptr);

    cout<<"pre="<<endl;
    show(pre,N);
    cout<<"in="<<endl;
    show(in,N);
    cout<<"post="<<endl;
    show(post,N);

    //------------- pre_in_post
    TREE* head = pre_in(pre,in,N);
    int pre_in_post[N];
    int* pre_in_post_ptr = (int*)pre_in_post;
    PostOrder(head,&pre_in_post_ptr);
    cout<<endl<<"pre_in_post:"<<endl;
    show(pre_in_post,N);

    //------------- post_in_pre
    head = post_in(post,in,N);
    int post_in_pre[N];
    int* post_in_pre_ptr = (int*)post_in_pre;
    PreOrder(head,&post_in_pre_ptr);
    cout<<endl<<"post_in_pre:"<<endl;
    show(post_in_pre,N);

    //------------- pre_post_in
    //注意：这种情况况不是任意二叉树都有唯一解，只对这种二叉树才有唯一解：每个非叶节点都有个孩子
    head = pre_post(pre,post,N);
    int pre_post_in[N];
    int* pre_post_in_ptr = (int*)pre_post_in;
    InOrder(head,&pre_post_in_ptr);
    cout<<endl<<"pre_post_in:"<<endl;
    show(pre_post_in,N);
    return 0;
}