多次相遇

多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲，直线型出题的模型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。现在我们分开一一进行讲解。首先，来看直线型多次相遇问题。 
一、直线型 
直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。现在分开向大家一一介绍： 
（一）两岸型 
     两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。题干如果没有明确说明是哪种相遇，考生对两种情况均应做出思考。 1、迎面碰头相遇： 
如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在a处，（为清楚表示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处，共走了3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程。所以第三次相遇共走了5个全程，依次类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1）S，S为全程。
      而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍

2、背面追及相遇      与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次背面相遇在a处，2分钟后甲走了2份，乙走了14份，两人在b处相遇。第一次相遇，两人走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为4S，依次类推，可以得出：当第n次追及相遇时，两人的路程差为2ns。


“直线型”总结（熟记）
       ①两岸型：
                第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是（2n-1）S。
               第n次背面追及相遇，两人的路程差是（2n-1）S。
      ②单岸型：
                第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns。
               第n次背面追及相遇，两人的路程差为2ns。
下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：
{模型一}：根据2倍关系求AB两地的距离。  【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A，乙从B同时出发，第一次相遇点距B  60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米？
A、150           B、170            C、180            D、200
 【答案及解析】B。如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab的距离为10。以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即为60×2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170米。

{模型二}：告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。
 【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。  两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则  从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次？
         A、2             B、3            C、4               D、5
 【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。分开讨论如是是迎面相遇，则走的全程的个数为个，根据迎面 相遇n次，走的全程为2n-1=5，求得n=3；如果是背面相遇，则走的全程数为故在1分50秒内，不能背面相遇。所以共相遇3次。
 {模型三}：告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。  
【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行  20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，  则A、B相距多少千米？
         A、95             B、100          C、105              D、110
 【答案及解析】C。走相同时间内，甲乙走的路程比为20：50=2：5。将全程看成7份，则第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。以甲为研究对象（也可以以乙），第10次迎面相遇走的全程数为2×10-1=19个，甲走1个全程走2份，则走19个全程可走19×2=38份。7份是一个全程，则38份共有38÷7=5…3份（当商是偶数时从甲的一端数，0也是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端）从乙端数3份。同理当第18次相遇，甲走的份数为（2×18-1）×2=70份。共有70÷7=10个全程，10为偶数在甲的端点。如下图：

则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米，所以AB长为千米
点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象，看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的总份数去掉全程的个数看剩余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。