AES涉及的有限域乘法及字节填充方法

转载自：https://www.cnblogs.com/xiehongfeng100/p/4315395.html

 非常值得参考的是，它详细介绍了AES及其实验过程。博文AES加密算法的C++实现就是基于该文档的介绍及实现，是难得的一篇好文，故在本文最后会附上该文，以作备份。

　　还有很值得推荐的就是，做的很形象，非常有助于理解！

　   对AES而言，它采用了“”结构（Substitution-Permutation Network, SPN）。其最复杂的计算在于列混淆，而列混淆的复杂又来自有限域的乘法；另外，一方面，我们还要考虑加密过程中需要考虑的字节填充。下边将进行介绍。

1. 有限域乘法

　　这部分主要参考自《密码编码学与网络安全——原理与实践》（第五版）（P. 96-97）。

　　在该书中，作者提到“本质上说，域就是一个集合，我们可以在其上进行加法、减法、乘法和除法而不脱离该集合”。有限域是域的一种，它指的是阶（元素个数，记为p）有限的域，记为GF(p)，其中有限域的阶必须是一个素数的幂p'^n（p'为素数，n为正整数）。GF(2^n)是在密码学中用得很多的有限域，它表示该域总共只有2^n个元素。特别地，GF(2^8)被用于AES的加解密。GF(2^8)是一个包含256个元素的域，它的每一个元素可被赋值为0~2^8-1中的唯一整数（注意这里提到的可，它意味着GF(2^8)的每一个元素同样可以取其他范围的值（不在0~2^8-1），但就是要满足域的条件）。在AES中，用到的有限域是GF(2^8)，它的每一个元素被赋值为0~2^8-1中的唯一整数。

　　同时，在该书中，作者还提出GF(2^n)的乘法计算公式如下：

 

　　

　　详细推导请参考该书P. 96。

　　下边参考博文有限域GF(2^8)内乘法代码实现以及原理（这篇博文开头对有限域的说明有点问题，作者貌似是把有限域理解成因为该域内的元素的值是有范围的，所以才叫有限域）的例子来说明如何进行GF(2^8)有限域乘法。

　　在二进制中，所有的数都能用0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80异或得到，0x01,0x02,0x04,0x08,0x10,0x20,0x40,0x80的二进制表示如下：

　　

      后一个分别是前一个的2倍。假设任意一个数a，他的二进制表示为10101101，可以由以下组合组成：

　　

       而任何一个数x和a相乘都可以表示为

　　

　　所以只要计算出

　　

最后再对这些结果进行异或就可以求出最终的乘法结果。那如何求0x3a*0x24？

      首先0x3a=00111010，分别求

　　

　　0x24=00100100，所以0x3a*0x24=0x3a*00100100=0x04*0x3a^0x20*0x3a=0xe8^0x01=0xe9.

　　作者还附带了一个C/C++程序来计算GF(2^8)有限域乘法：

unsigned char XTIME(unsigned char x) 
{ return ((x << 1) ^ ((x & 0x80) ? 0x1b : 0x00));
}
unsigned char multiply(unsigned char a, unsigned char b) 
{
    unsigned char temp[8] = { a };
    unsigned char tempmultiply = 0x00; int i = 0; for (i = 1; i < 8; i++) 
    {
        temp[i] = XTIME(temp[i - 1]);
    }
    tempmultiply = (b & 0x01) * a; for (i = 1; i <= 7; i++) 
    {
        tempmultiply ^= (((b >> i) & 0x01) * temp[i]);
    } return tempmultiply;
}

　　关于程序的解释可以参考该博文。

2. 字节填充

　　AES是分块计算，当数据内容不足，16字节(128 bit AES)，24字节(192 bit AES)，32字节(256 bit AES)，不足部分就需要填充。（翻译）上面列举填充方式有如下几种:
　　1）ANSI X.923
　　不足部分填充0，最后一字节为填充字节数。如下面8字节的块，需要填充4字节时:
　　… | DD DD DD DD DD DD DD DD | DD DD DD DD 00 00 00 04 |
　　2）ISO 10126
　　不足部分填充随机数字，最后一字节为填充字节数。如下面8字节的块，需要填充4字节时:
　　… | DD DD DD DD DD DD DD DD | DD DD DD DD BC DA EF 04 |
　　3）PKCS7与PKCS5
　　不足部分填充为需要填充字节数。若数据大小是分块大小N的倍数时，则增加一个全为N的分块。如下面8字节的块，需要填充4字节时:
　　… | DD DD DD DD DD DD DD DD | DD DD DD DD 04 04 04 04 |
　　4）ISO/IEC 7816-4
　　不足的部分，首先填充一个0×80，剩余部分全为0。如下面8字节的块，需要填充4字节时:
　　… | DD DD DD DD DD DD DD DD | DD DD DD DD 80 00 00 00 |
　　要求数据内容本身不包含0×80
　　5）Zero padding
　　不足部分全部填充0。如下面8字节的块，需要填充4字节时:
　　… | DD DD DD DD DD DD DD DD | DD DD DD DD 00 00 00 00 |
　　这种方法不能区分数据内容本身末尾包含0的情况，因而也不是标准的填充方式。

　　本人在实现的时候采用的是ANSI X.923标准。

 

3. 个人实现

 　　代码请见.

4. 博文AES加密算法的C++实现摘录

　　摘要：作为新一代的加密标准，AES 旨在取代 DES（请看《DES加密算法的C++实现》），以适应当今分布式开放网络对数据加密安全性的要求。本文在分析了 AES 加密原理的基础上着重说明了算法实现的具体步骤，并用 C++ 实现了对文件的加密和解密。

　　一、AES 介绍

　　AES（高级加密标准，Advanced Encryption Standard），在密码学中又称 Rijndael 加密法，是美国联邦政府采用的一种分组加密标准。这个标准用来替代原先的 DES，目前已经广为全世界所使用，成为对称密钥算法中最流行的算法之一。

　　在 AES 出现之前，最常用的对称密钥算法是 DES 加密算法，它在 1977 年被公布成为美国政府的商用加密标准。DES 的主要问题是密钥长度较短，渐渐不适合于分布式开放网络对数据加密安全性的要求。因此，1998年美国政府决定不再继续延用 DES 作为联邦加密标准，并发起了征集 AES 候选算法的活动。征集活动对 AES 的基本要求是： 比三重DES快、至少与三重DES一样安全、数据分组长度为128比特、密钥长度为128/192/256比特。

　　经过三年多的甄选，比利时的密码学家所设计的 Rijndael 算法最终脱颖而出，成为新一代的高级加密标准，并于 2001 年由美国国家标准与技术研究院（NIST）发布于 。

　　二、AES 算法原理

　　AES算法（即 Rijndael 算法）是一个对称分组密码算法。数据分组长度必须是 128 bits，使用的密钥长度为 128，192 或 256 bits。对于三种不同密钥长度的 AES 算法，分别称为“AES-128”、“AES-192”、“AES-256”。（Rijndael 的设计还可以处理其它的分组长度和密钥长度，但 AES 标准中没有采用）

　　下图是 AES 加密解密的整体流程图：

　　

　　这里我们需要知道3个符号：Nb—— 状态 State 包含的列（32-bit 字）的个数，也就是说 Nb=4；Nk—— 密钥包含的 32-bit 字的个数，也就是说 Nk=4，6 或 8；Nr—— 加密的轮数，对于不同密钥长度，轮数不一样，具体如下图所示：

　　

　　下面分为密钥扩展、分组加密、分组解密三个部分来讲 AES 算法，我会尽可能地简明扼要，若还有不懂的，请自行 Google。

　　1）密钥扩展

　　AES 算法通过密钥扩展程序（Key Expansion）将用户输入的密钥 K 扩展生成 Nb(Nr+1)个字，存放在一个线性数组w[Nb*(Nr+1)]中。具体如下：

1. 位置变换函数RotWord()，接受一个字 [a0, a1, a2, a3] 作为输入，循环左移一个字节后输出 [a1, a2, a3, a0]。

2. S盒变换函数SubWord()，接受一个字 [a0, a1, a2, a3] 作为输入。S盒是一个16x16的表，其中每一个元素是一个字节。对于输入的每一个字节，前四位组成十六进制数 x 作为行号，后四位组成的十六进制数 y 作为列号，查找表中对应的值。最后函数输出 4 个新字节组成的 32-bit 字。

3. 轮常数Rcon[]，如何计算的就不说了，直接把它当做常量数组。

4. 扩展密钥数组w[]的前 Nk 个元素就是外部密钥 K，以后的元素w[i]等于它前一个元素w[i-1]与前第 Nk 个元素w[i-Nk]的异或，即w[i] = w[i-1] XOR w[i-Nk]；但若 i 为 Nk 的倍数，则w[i] = w[i-Nk] XOR SubWord(RotWord(w[i-1])) XOR Rcon[i/Nk-1]。

　　注意，上面的第四步说明适合于 AES-128 和 AES-192，详细的伪代码如下：

　　

　　密钥扩展程序的 C++ 代码（AES-128）：

 KeyExpansion

　　测试输出结果：

　　

　　2）加密

　　根据 AES 加密的整体流程图（本文开头），伪代码如下：

　　

　　从伪代码描述中可以看出，AES 加密时涉及到的子程序有SubBytes()、ShiftRows()、MixColumns()和AddRoundKey()。下面我们一个一个进行介绍：

　　① S盒变换-SubBytes()

　　在密钥扩展部分已经讲过了，S盒是一个 16 行 16 列的表，表中每个元素都是一个字节。S盒变换很简单：函数SubBytes()接受一个 4x4 的字节矩阵作为输入，对其中的每个字节，前四位组成十六进制数 x 作为行号，后四位组成的十六进制数 y 作为列号，查找表中对应的值替换原来位置上的字节。

　　② 行变换-ShiftRows()

行变换也很简单，它仅仅是将矩阵的每一行以字节为单位循环移位：第一行不变，第二行左移一位，第三行左移两位，第四行左移三位。如下图所示：

　　

　　③ 列变换-MixColumns()

　　函数MixColumns()同样接受一个 4x4 的字节矩阵作为输入，并对矩阵进行逐列变换，变换方式如下：

　　

　　注意公式中用到的乘法是，高级加密标准文档  上有讲，如果还是不懂，请自行Google。

　　

　　④ 与扩展密钥的异或-AddRoundKey()

　　扩展密钥只参与了这一步。根据当前加密的轮数，用w[]中的 4 个扩展密钥与矩阵的 4 个列进行按位异或。如下图：

　　

　　好了，到这里 AES 加密的各个部分就讲完了。算法实现的 C++ 源码在文章后面第三部分。

　  3）解密

　　根据 AES 解密的整体流程图（本文开头），伪代码如下：

　　

　　从伪代码可以看出，我们需要分别实现 S 盒变换、行变换和列变换的逆变换InvShiftRows()、InvSubBytes()和InvMixColumns()。下面就简单的讲一下这三个逆变换：

　　① 逆行变换-InvShiftRows()

　　上面讲到ShiftRows()是对矩阵的每一行进行循环左移，所以InvShiftRows()是对矩阵每一行进行循环右移。

　　

　　② 逆 S 盒变换-InvSubBytes()

　　与 S 盒变换一样，也是查表，查表的方式也一样，只不过查的是另外一个置换表（S-Box的逆表）。

　　③ 逆列变换-InvMixColumns()

　　与列变换的方式一样，只不过计算公式的系数矩阵发生了变化。如下图：

　　

　　好了，AES 解密到这里也讲完了。只要写出三个逆变换的函数，然后根据伪代码就很容易实现 AES 解密算法了。

　　三、C++实现

　　下面我用 C++ 实现 AES 的加密和解密算法，并实现了对文件的加密和解密。这里我使用 C++ STL 的bitset定义了两个类型：byte和word。需要提到的是，对于有限域上的乘法，我们既可以通过查表（6个结果表），也可以写一个函数来实现。当然，查表的效率会更高，但考虑到贴代码，这里我就用一个函数来实现的。

　　下面是 AES-128 对一个 128 位数据加密和解密的源代码：

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　　测试用例如下图：

　　

　　测试结果截图：

　　

　　可见，测试结果和预期输出相同，表明对数据的加密和解密成功！！！

　　下面我们来写 AES 对文件的加密和解密，在对 128 位的数据加解密成功以后，对文件的加解密就很简单了！只需要每次读 128 位，加密以后，将 128 位的密文写入另外一个文件…..如此循环，直到文件尾。下面是对一张图片进行 AES 加密和解密的测试代码（效率先不管了，有时间我再优化）：

 View Code

　　（全文完）

 

　　更新 —— 2014.12.21

　　有限域 GF(2⁸) 上的乘法改用查表的方式实现，AES的加密速度马上提升 80% 以上，所以建议最好使用查表的方式。下面是 AES 算法中用到的 6 个乘法结果表：

 

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