在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。
算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，即T(n)和f(n)是同一个数量级的，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
我们常用“大O记法”来表示时间复杂度，这里的“O”指的是量级（order）。
那如何分析一个算法的时间复杂度？如何推导出大O阶呢？下面给出基本方法：
推导大O阶：
1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3）如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项想乘的常数。
下面用几个具体的例子来理解一下大O推导的过程。
1）O(1)
int sum = 0, n = 100; //执行1次
sum = (1 + n) * n / 2; //执行1次
printf("%d", sum); //执行1次
算法运行次数函数f(n) = 3,根据大O推导的过程，第一步将3改为1；第二步，由于没有最高阶项所以算法的时间复杂度为O(1)。
再举一个例子：
算法运行次数函数f(n) = 12,根据大O推导的过程，第一步将12改为1；第二步，由于没有最高阶项所以算法的时间复杂度还是为O(1)。
由此可以看出该算法的时间复杂度不会随着规模n的变大而变大，即使算法有上千条语句，执行时间也是一个较大的常数项，时间复杂度还是O(1)。
2）O(n)
int i; //执行1次
for(i = 0; i < n; i++) //执行n次
{
printf("%d ", i); //执行n次
}
对于这种带有循环结构的算法，主要还是看循环语句执行的次数。对于该算法，算法运行次数函数f(n) = 2n + 1,根据大O推导的过程，第一步直接过，第二步只保留最高阶项即2n，第三步去除最高阶项的系数2，结果为n，所以时间复杂度为O(n）。
3）O(n^2)
int i, j; //执行1次
for(i = 0; i < n; i++) //执行n次
for(j = 0; j < n; j++) //执行n^2次
{
printf("hello\n"); //执行n^2次
}
对于该算法，算法运行次数函数f(n) = 2n^2 + n + 1,根据大O推导的过程，第一步直接过，第二步只保留最高阶项2n^2，第三步去除最高阶项的系数2，结果为n^2，所以时间复杂度为O(n^2）。
如果将代码改为：
int i, j; //执行1次
for(i = 0; i < n; i++) //执行n次
for(j = 0; j < m; j++) //执行n * m次
{
printf("hello\n"); //执行n * m次
}
那该算法的时间复杂度为O(n * m）.
如果将代码改为：
int i, j; //执行1次
for(i = 0; i < n; i++) //执行n次
for(j = i; j < n; j++) //执行n + (n - 1) +......+ 1次
{
printf("hello\n"); //执行n + (n - 1) +......+ 1次
}
对于该算法，算法运行次数函数f(n) = n * (n + 1) + n + 1 = n^2 + 2n + 1,根据大O推导的过程，第一步直接过，第二步只保留最高阶项n^2，第三步过，结果为n^2，所以时间复杂度还是为O(n^2）。
4）O(logn)
int i = 1; //执行1次
while(i < n) { //执行log(2)n次,2为底数，下同
i *= 2; //执行log(2)n次
}
对于log(2)n是怎么求出来的，我们可以假设i *= 2;语句执行了x次，现在每执行一次，i就会乘以2，知道i >= n。所以2^x = n，x = log(2)n。
对于该算法，算法运行次数函数f(n) = 2log(2)n + 1,根据大O推导的过程，第一步直接过，第二步只保留最高阶项2log(2)n，第三步去除最高阶项的系数2，结果为log(2)n，所以时间复杂度为 O(log(2)n）。对于底数2，不是确定的，还要看具体的算法，因为如果算法改为i *= 3的话，时间复杂度为O(log(3)n）了。
还有很多种时间复杂度，对于具体算法还是要具体分析，这里只是介绍了如何去分析出算法的时间复杂度，下面附上常见的算法复杂度。
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