矩阵的基础知识

  矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统等等。“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。

  1.结合性 （AB）C=A（BC）

  2.对加法的分配性 （A+B）C=AC+BC,C（A+B）=CA+CB

  3.对数乘的结合性 k（AB）=（kA）B =A（kB）

  4.关于转置 （AB）'=B'A'

  一个矩阵就是一个二维数组，为了方便声明多个矩阵，我们一般会将矩阵封装一个类或定义一个矩阵的结构体，我采用的是后者。

  最特殊的矩阵应该就是单位矩阵e了，它的对角线的元素为1,非对角线元素为0.一个n*n的矩阵的0次幂就是单位矩阵。

  若A为n×k矩阵，B为k×m矩阵，则它们的乘积AB（有时记做A?B）将是一个n×m矩阵。其乘积矩阵AB的第i行第j列的元素为：

  一般矩阵乘法采用朴素的O（n^3）的算法，但是对于一些比较稀疏的矩阵（就是矩阵中0比较多），对于这样的矩阵我们可以采用矩阵的优化，这个算法也适用于一般的矩阵，0特别多时，复杂度可能会降低到O（n^2），实现如下：

  还要注意的是，我们要尽可能的减少取模运算，因为取模的复杂度很高，这样我们就可以节约时间了。

  矩阵加法就是简单地将对应的位置的两个矩阵的元素相加。

  我们一般考虑的是n阶方阵之间的乘法以及n阶方阵与n维向量（把向量看成n×1的矩阵）的乘法。矩阵乘法最重要的性质就是满足结合律，同时它另一个很重要 的性质就是不满足交换率，这保证了矩阵的幂运算满足快速幂取模（A^k % MOD）算法，矩阵快速幂其实就是二分指数，避免重复的计算。我们可以采用递归的方式很容易的写出来，但是当指数比较大，或者矩阵比较大得时候，我们就会 出现栈溢出的状况，不断RE（我就被坑过）。所以还是写成迭代的方式比较好。

  制作矩阵图一般要遵循以下几个步骤：

  1、列出质量因素

  2、把成对对因素排列成行和列，表示其对应关系

  3、选择合适的矩阵图类型

  4、在成对因素交点处表示其关系程度，一般凭经验进行定性判断，可分为三种：关系密切、关系较密切、关系一般（或可能有关系），并用不同符号表示

  5、根据关系程度确定必须控制的重点因素

  6、针对重点因素作对策表。