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分类: 高性能计算

2016-12-07 19:26:53


RSA 加解密中存在指数运算 xa
通常解密运算中的 指数 非常大,a 的二进制位数 通常会大于等于1024 bit, 即 可能 a >=2^1024.

如果用一般方法直接计算 X^a的值, 即X*X*X......需要的运算量非常大


定义:    MUL       为乘法运算 即乘以x ,
         sq         为平方运算


考虑一个例子 计算x8
则最简单的方法需要8次乘法运算


而更快捷的方法只需要3次平方运算

在看一个更一般的例子,计算 X24
最简单的方法就是计算24次乘法。

更有效的方法如下: 即一次平方操作,一次乘法操作(乘以x),之后再三次平放操作。 即5次操作即可得到结果

也就是说对于指数运算 两种基本操作就可以得到结果:
    对当前结果平方
    当前结果与x相乘

问题是如何确定平方与乘法的执行顺序, 平方-乘算法就可以解决这个问题。

大致描述为: 对 Xa  将指数a 表示为2进制形式,高bit在左,然后从左至右扫描对应的bit位。除了最左边的bit(MSB)以外,在扫描之后每个bit位时对当前结果平方,如果该bit位为1,则需多进行一次 乘法操作

以计算 X24为例:

X24  将指数表示为 二进制形式  X11000  表示为Xb1b2b3b4b5
开始扫描指数的每个Bit:         下面的红体表示数值为2进制表示

1:     初始值  x = x1;                初始化设置,b1 = 1  ,扫描第一个bit时不需要做其他操作

2:      X2 = X10                                  b2=1,先平方
         X* X = X=X11                         再乘以 X

3:   (X3)2 = X6 = X110                    
b3= 0,只需要一次平方

4:    (X6) = X12 = X1100                 b4 = 0,只需要一次平方

5: (X12)2 = X24 = X11000                b5 = 0,只需一次平方

通过观察运算过程中指数的二进制表示的变化能更好的理解算法,一次平方操作会让指数向左移一位,并在最右边添加0,
而与 X 相乘的操作即在指数的最右边位置上填上 1

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