街区最短路径问题分析和实现

时间限制：3000 ms | 内存限制：65535 KB
难度：4
描述 ：
一个街区有很多住户，街区的街道只能为东西、南北两种方向。

住户只可以沿着街道行走。

各个街道之间的间隔相等。

用(x,y)来表示住户坐在的街区。

例如（4,20），表示用户在东西方向第4个街道，南北方向第20个街道。

现在要建一个邮局，使得各个住户到邮局的距离之和最少。

求现在这个邮局应该建在那个地方使得所有住户距离之和最小；

输入
第一行一个整数n<20，表示有n组测试数据，下面是n组数据;
每组第一行一个整数m<20,表示本组有m个住户，下面的m行每行有两个整数0 所在街区的坐标。
m行后是新一组的数据；

输出
每组数据输出到邮局最小的距离和，回车结束；
样例输入
2
3
1 1
2 1
1 2
5
2 9
5 20
11 9
1 1
1 20
样例输出
2
44
============================即将用来揭示答案的华丽分割线========================================
解题思路：
1、距离和最小的邮局点一定设在某个居民点上，否则邮局到其他任何非居民点的距离总是会比最小距离多出来一段（非居民点到最近居民点的x+y距离）
2、因为距离只计算x轴和Y轴距离之和而不是斜对角线距离，所以可以把x轴距离和y轴距离分开分析计算最短距离，彼此一定不会影响
3、以x轴横向点到其他点最短距离为例：问题等价于在X轴有若干点中选取其中一点，使该点到其他点距离和最小
4、这个最短距离点一定是排在中间的那个点，比如有5个点，一定选择第3个点；如果有4个点，一定选择第2个点或者第3个点（可以证明选择这两个点任意一个，结果一定相同）
选择中间点的反证法证明：
假设选择非中间点，并认为该点到其他点的距离和最小，大家可以在X轴上画画图算算，一定还可以找到距离和比最小值还小一段距离的点（距离大小为假设最小点到中间点的距离），这和我们假设距离和最小条件矛盾，所以只能选中间点。

C++代码实现：

#include <fstream>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main(int argc, char** argv)
{
    ifstream    f_input("./input.txt");
    string      s_count;

    if (!getline(f_input, s_count)) {
        abort();
    }

    for (int i = 0; i < atoi(s_count.c_str()); i++) {
        string s_num;
        if(!getline(f_input, s_num)) {
            abort();
        }
        // get all the x-coordinate and y-coordinate from the input.txt
        vector<int> xs, ys;
        for (int j = 0; j < atoi(s_num.c_str()); j++) {
            string s_line;
            if (!getline(f_input, s_line)) {
                abort();
            }
            string::size_type pos = s_line.find(" ");
            int x = atoi(s_line.substr(0, pos).c_str());
            int y = atoi(s_line.substr(pos+1, s_line.size()-1).c_str());
            xs.push_back(x);
            ys.push_back(y);
        }
        sort(xs.begin(), xs.end());
        sort(ys.begin(), ys.end());

        // calculate the minimium distance
        int min = 0;
        for (int c = 0; c < (atoi(s_num.c_str())+1)/2; c++) {
            min += (xs[xs.size()-1-c] - xs[c]) + (ys[ys.size()-1-c] - ys[c]);
        }
        cout << "minimium distance:\t" << min << endl;
    }
}