C语言浮点数和整数转换的分析

       这里以C语言的浮点数为例，在IEEE浮点标准下，整数转换为浮点数的过程做一些直观的分析和具体的实现，IEEE浮点数的标准细节详见（）。

 

        在C语言中，使用float和double类型数据分别对应单精度和双精度的浮点格式。以float为例，由于float是32位，int在32位机器上也是32位。因此，float必然不能对所有的int进行准确的表示。实际上，在数轴上，浮点数所能表示的数呈非均匀的分布。举例如下图。

 

                                         .     . -3  .   .  .  .-2  . . .  -1..........0.........1.. . .   . 2 .  .     .      3.       .

 

 

       图中的点代表float可表示的数，可以看出，在所能表示的数中，接近0的比较密集，远离0的则步长逐渐增大。具体的步长可以根据浮点数标准算出。

      以float为例，符号位1位，阶码8位，位数23位。由IEEE浮点的标准可知，非规格化数表示那些非常接近0.0的数。这时候，阶码域全为0.因此，非规格化数的步长为

                                                         2^-23×2^-127 ≈ 1.4×10^-45

 

      而非规格化数的范围则约等于   -1.2×10^-38 到1.2×10-³⁸  在这个范围内，float能表示的数呈均匀分布。

       而int则处在规格化数的范围内。对于规格化数，步长不均匀。步长可表示为

 

                                                                         2^-23×2^E

        其中，E的取值范围是-126~+127。显然，随着E增大，步长增大。因此，对于越远离0的区域，步长越大。当E =  30时，步长为128。如下程序是一个验证。

                                  

 

 

         其中，浮点数表示2的30次方，刚阶码值E=30，程序中a数组记录x每次加一的结果，从输出中可以看出，因为步长为128，在0-64次相加中，并没有改变a[i]的值，而在后64次相加中，a[i]则保持为2的30次方+128。

 

                                                                   

        因此，除了不均匀的步长以外，还需要考虑的是舍入的问题。由上面的测试中可知，C语言的舍入方法中，若整数处于步长的前半，则向下舍入，否则向上舍入。而对于刚好处于中间的数，例如上图中a[64]，这种与前后的可取的数距离相等，则采用向偶数舍入的原则。即取表示成float形式后，最后一位为偶数（0）的数。

        分析到此，开始实现，说白的就是实现一个 float f = float(integer)的功能。函数原型如下：

                                                                       unsigned  float_itof(int i)  

      把整数i转换为float的表示形式，然后返回对应的4个字节。函数中不能使用float类型及其运算。

      代码如下：

                      

unsigned float_i2f(int i)
{
    unsigned x,E,e;
    int count;
    unsigned j;
    unsigned low,high;

    count = 0;
    x = 0;
    if(i==0)
        return x;
    //float不采用补码，正负数根据第一位符号位决定
    if(i<0)
    {
        i = -i;
        x = x|0x80000000;
    }
    j = i;
    //整数均为规格化数，先进行移位
    while((j&0x80000000)!=0x80000000)
    {
      j = j<<1;
      count++;
    }
    j=j<<1;
    //求出阶码
    E = 32-++count;
    e = E+127;
    //小于2的24次方，把阶码和有效位填入，完成
    if((i&0xff000000)==0)
    {
      x = x|(e<<23);
      x = x|(j>>9);
      return x;
    }
    //大于2的24次方，要进行舍入
    else
    {
      j=j>>count;
      //high low即进位或舍去尾数
      low = j&(~((1<<(E-23))-1));
      high = low+(1<<(E-23));
      //偶舍入原则
      if(j-low>high-j)
          j = high;
      else if(j-low
          j = low;
      else if((low&(1<<(E-23)))==0)
          j = low;
      else
          j = high;
      if((((low>>(E-23))&0x7fffff)==0x7fffff) && (j==high))
      {
          e++;
      }
      //填入各位，完成
      x = x|(e<<23);
      x = x|((j>>(E-23))&0x7fffff);
    }
}

 

        对输入i进行 INT_MIN 到 INT_MAX的范围测试，与float（i）的结果逐字节比较。代码正确。