MP3编解码算法分析(20)——关于多相滤波器组Polyphase Filter Bank

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1. 基本公式
   图3展示了 Rothweiler 建议的 MPEG 音频编码过滤器组是怎样的结构，作为比较，图4 则展示了同样的 ISO
   MPEG音频标准的过滤器组的流程图。

   通过结合等式和流程图中的步骤，人们便会推出如下过滤器组输出的公式：

     St[i] = Sum(k=0..63, Sum(j=0..7, M[i][k] * (C[k+64j] * x[k+64j]))                        (1)

   其中：
     i       是子带编号，范围从 0 到 31；
     st[i]   是第 i 个过滤器在时间 t 时样条输出值, t 是一个 32 个音频样条的间隔的整数倍；
     C[n]    是标准中定义的分析窗口的 512 个系数之一；
     x[n]    是音频输入样条值，而
     M[i][k] = cos[(2*i+1)*(k-16)*pi/64] 是分析系数矩阵；

2. 算法分析
   以上等式已进行部分优化以减少计算的数量。因为括号内的函数与 i 值无关, 而 M[i][k] 与 j 无关，因此
   32 过滤器组实际上只需要 512 + 32*64 = 2,560 次乘法和 64*7+32*63 = 2,464 次加法， 大致每个滤波器
   输出需要 80 次乘法和加法。进一步充分的简化还是可能的，如快速 FDCT[9,10] 或 FFT[11]。

   注意：该过滤器组实施是紧急采样的，每 32 个输入样条，过滤器组产生 32 个输出样条。实际上,32个子带
   滤波器中的每一个都子采样它的输出(by 32)以对每 32 个新的音频采样仅产生一个输出样条。

3. 算法卷绕形式与分析
   人们可从 (1) 式转化为熟知的过滤器卷绕等式：

     St[i] = Sum(n=0..511, x[t-n]*Hi[n])                                                      (2)

   其中：
     x[t]     是时间 t 的音频采样数据，而：
     Hi[n]    = h[n]*cos[(2*i+1)*(n-16)*pi/64]，其中：
     h[n]     = -C[n], 如果 (n/64) 的整数部分是奇数，
              =  C[n]  否则，n = 0 to 511。

   在这种形式中，每个子带有它自己的带通(band-pass)滤波响应 Hi[n], 尽管该种形式分析起来容易一些，很
   显然它不是一个有效率的方案：该形式的直接实施需要 32 * 512 = 16,384 次乘法和 32* 511 = 16,352 次
   加法才能计算出 32 个滤波器的输出。

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