关于蒙提霍尔问题（Monty fall problem）的一些看法和程序模拟

昨天大家吃饭的时候的，聊起今年面试的时候出的一个问题，在原理上跟Monty fall problem是一样的，引起了对于Monty fall 问题的一些思考！首先来说明一下什么monty fall problem。

蒙提霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏题，大致出自美国的。问题的名字来自该节目的主持人蒙提霍尔（Monty Hall）。

这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会—换门的话，赢得汽车的机率是2/3。

其实这个游戏的关键就是这个主持人，所以我们要解决这个问题首先要搞清楚的一点就是：无论你选择的哪扇门，当你选择完毕之后主持人肯定会翻开一扇藏有羊的门，这样这个问题就变成了一个条件概率的问题，就是说你在主持人翻开一扇藏有羊的门的概率情况下，改变你第一次选择并且选中汽车的概率是多少。假设你第一次选中汽车的开率记作事件P（A） = 1/3.
主持人翻开一扇藏有羊的门的事件记作：
P（C）=？
P（C）为多少呢，根据游戏的规则，主持人为了让游戏继续下去肯定会翻开一扇藏有羊的门，并且绝对不会翻开你选择的那扇门，所以P（C） = 1!
然后，在主持人翻开了一扇藏有羊的门之后，你该变了自己的选择，就是因为你认为自己第一选中的是羊，这个概率
P（B） = 2/3.
所以在主持人翻开一扇藏有羊的门的情况下你选中车的概率可以做：
P（B|C）=P（BC）/P（C）
P（BC）事件可以陈述为第一次你没有选中羊主持人翻开一扇门，由于你的选择并不会影响到主持人翻开门的行为，所以P（BC） = P（B）=2/3
所以P（B|C）=2/3
所以当主持人翻开一扇藏有羊的门，你改变自己的选择选中车的概率为2/3！
为了证明我们的说法我们可以写一个程序模拟一下这个场景：

#include<iostream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int main()
{
    int counter = 0;
    int flag;
    int j;
    int s;
    int i = 1;
    int a[3];             //代表三扇门
    srand(time(0));
    a[0] = 1;             //有汽车的门
    a[1] = 0;
    a[2] = 0;
    while(i <= 1000000)
    {
        j = rand()%3;     //观众随机选择了一扇门
/*主持人首先判断观众选择的这扇门中是不是有车，假如有车他会从剩下的两扇中随机的打开一扇门，假如观众选择的门后没有车他会打开另外一扇没有车的门。按照这个逻辑我们将s当作主持人的选择，然后将剩下的一扇门中的结果给flag，判断一下flag=1的次数，就是观众改变自己的选择选中车的概率*/
        if(j  == 0)
        {
            s = rand()%2 + 1;
            if(s == 1)
            {
                flag = a[2];
            }
            else
            {
                flag = a[1];
            }
        }
        else if(j == 1)
        {
            flag = a[0];
        }
        else if(j == 2)
        {
            flag = a[0];
        }
        if(flag == 1)
        {
            counter++;
        }
        i++;
    }
    cout << counter << endl;
    return 0;
}

经过实验发现的确是2/3！其实这个问题有很多的变形，大家可以总结一下会很有趣！