羅素悖論即理髮師悖論的「學術版」

我看了一下上面的說的大多數都是文字遊戲，其實最有名的悖論一定是羅素悖論即理髮師悖論的「學術版」，析言之。
集合從邏輯上可以分為二類，一類稱之為本身分子集合，一類稱之非本身分子集合。
本身分子集合是指集合以其自身為元素，例如所有全體非正方形所組成的集合A，在這個集合A中元素可能是圓形，可能是太陽等等，只要不是正方形就可以。而集合A本身也不是正方形，所以它自身也是集合A中的一個元素。這樣的集合稱之為本身分子集合。
非本身分子集合是集合不以其本身為元素，這一種集合其實我們更常見一些，例如自然數集N，是由全體自然數所組成的集合，但是N本身不是自然數，所以N是非本身分子集合，這樣的例子還有很多，如所有人類所組成的集合，所有大於3的實數所組成的集合等等。
那麼什麼是羅素悖論呢？
羅素悖論是 指全體非本身分子集合所組成的集合（記作B）是本身分子集合還是非本身分子集合，從邏輯的角度來講，它只能居其一。可是若它是本身分子集合，那麼B是它的 元素，但這個集合是由全體非本身分子集合所組成，矛盾。若它是非本身分子集合，那麼B不是它自身的元素，但由定義，B是全體非本身分子集合所組成的集合。 自然也包含B，矛盾。用話解釋較繁，用符號較易。

現在談談一下理髮師悖論即羅素悖論的通俗版。

一 位理髮師說：「我只幫所有不自己刮臉的人刮臉。」那麼理髮師是否給自己刮臉呢？如果他給的話，但按照他的話，他就不該給自己刮臉（因為他只幫不自己 刮臉的人刮臉）；如果他不給的話，但按照他的話，他就該給自己刮臉（因為所有不給自己刮臉的人，包含了理髮師本人），於是矛盾出現了。
現在簡單說下為何理髮師悖論和羅素悖論是等價的。
如 果把每個人對應唯一一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象的全體。那麼，理髮師宣稱，他所對應的集合中的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合 所對應的人，並且城裡所有不屬於自身的集合所應的人都屬於他所對應的集合。那麼他是否屬於他自己所應的集合？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的 變換也是成立的。（這個有點繞，好好想想吧。）
最後談下為何這個悖論最重要。並且導致了第三次數學危機。
因為這個悖論是和 集合相關的，而集合是整個現代數學的基礎，這麼說不太具體，舉例而言，函數是現代數學中最重要的概念，而函數是一種特殊的關係，而關係又是一種特殊的集 合，所以函數是一種特殊的集合。（不知道我說什麼的同學回憶一下本科所學的離散數學），實際上laplace變換，泛函也只是一種特殊的函數，當然也是一 種特殊的集合。也就是這個原因，當集合一但出現問題，整個現代數學基礎也就隨之出現問題。當然這個問題在公理集合論中已經得到解決，不過更加抽象，就不細 言了。