计算机算术运算

补码加减运算规则

（1）公式：

[X+Y]补=[X]补+[Y]补

[X-Y]补=[X]补+[-Y]补

例 X=0.001010 Y=-0.100011 求[X-Y]补

解 [X]补=0.001010 [-Y]补=0.100011

则 [X-Y]补 = [X]补+[-Y]补

= 0.001010 + 0.100011

= 0.101101

（2）变形补码：

[X+Y] 变补=[X] 变补+[Y] 变补

[X-Y] 变补=[X] 变补+[-Y] 变补

例 X=0.1011 Y=0.0011 求[X+Y]补

解 [X]变补 = 00.1011 [Y]变补 = 00.0011

[X+Y]变补 = 00.1011 +00.0011 = 00.1110

所以 [X+Y]补 = 0.1110

例 X=0.1011 Y=0.1001 求[X+Y]补

解:

[X]变补 =00.1011 [Y]变补 = 00.1001

[X+Y]变补 = 00.1011 +00.1001 = 01.0100

运算结果的两符号位是01，不相同，发生溢出，因第一符号位是0，代表正数， 所以称这种溢出为“正溢出”。

例 X=-0.1101 Y=-0.1010 求[X+Y]补

解 [X]变补 = 11.0011 [Y]变补 = 11.0110

[X+Y]变补 = 11.0011 +11.0110 = 10.1001 (mod 4)

结果的两符号位是10，不相同，发生溢出，因第一符号位是1，代表负数， 所以称这种溢出为“负溢出”。

（3）判断溢出的原则：

当两符号位不同时，溢出；

当两符号位相同时，正确。

原码乘法

1． 原码一位乘法

（1） 一位乘算法描述

设[X]原=Xs.Xn-1Xn-2…Xi…X1X0=Xs.Xv

[Y]原=Ys.Yn-1Yn-2…Yi…Y1Y0=Ys.Yv

则乘积[Z]原=Zs.Zv=(XsYs).(Xv*Yv)

A.手算方法

例如 求A=0.1101和B=0.0110的乘积

原码乘法(一位)

例 已知X=-0.1011 Y=0.1001 求[X·Y]原

解 [X]原=1.1011 [Y]原=0.1001

|X| = 0.1011 |Y| = 0.1001

则按原码一位乘法运算规则，求[X·Y]原的数值部分。

运算过程表所示。

所以|X|·|Y| =0.01100011， 而Zs = XsYs = 10 =1

最后求得[X·Y]原 = 1.01100011

原码乘法(两位)

原码两位乘法

（1） 规则

X*Y考察乘数的相邻两位二进制数

Yi+1Yi 本次位积 部分积操作

0 0 0 2-2(Zi+0*X)

0 1 +X 2-2(Zi+1*X)

1 0 +2X 2-2(Zi+2*X)

1 1 +3X=4X-X 2-2(Zi+3*X)

（2） 关键点

A、由于乘法过程中有加减运算，故要在过程中考虑符号位；

B、求部分积时，第二个符号位有可能被改变；

C、最后一步做完时，还要考察一次标志位，方法是前面加0

偶数位时：00

奇数位时：0，最后移一位

例 设X=0.111111,Y=-0.111001, 求[X·Y]原=?

解： 先求[-X]补=11.000001，其数值部分的乘积按两位乘法规则进行操作：

得数值部分积为 0.111000000111

符号 Zs = Xs Ys = 0 1 = 1

所以 [X·Y]原 =1.111000000111

补码乘法

例：设[X] 补=0,1101，[Y] 补=1,0101，求[XY] 补

解：用补码一位乘法，过程如下：

补码部分积 补码乘数 操作说明

符号位 数值部分 数值部分

0 0 0 0 0 0 01 0 1 Z0=0,y0=1

+ 0 0 1 1 0 1 Z0+[X]补→Z1

0 0 1 1 0 1

0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1/2Z1,y1=0,Z1+0→Z2

0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1/2Z2,y2=1

+ 0 0 1 1 0 1 Z2+[X] 补→Z3

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 00 1 0 1/2Z3,y3=0,不加, Z3→Z4

0 0 0 1 0 0 00 0 1 1/2Z4,ys=1,校正

+ 1 1 0 0 1 1 Z4+[-X]补,得[XY] 补

1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

故[XY] 补=1,01110001，即XY=-10001111

注意：

（A）在补码乘中不必采用绝对值运算

（B）进行校正的前提：

为正：不校正；为负：校正+[-X] 补

布斯乘法规则归纳如下：

首先设置附加位Yn+1=0，部分积初值[Z0]补=0。

l 当n≠0时，判YnYn+1，

若YnYn+1=00或11，即相邻位相同时，上次部分积右移一位，直接得部分积。

若YnYn+1=01，上次部分积加[X]补，然后右移一位得新部分积。

若YnYn+1=10，上次部分积加[-X]补，然后右移一位得新部分积。

l 当n=0时，判YnYn+1(对应于Y0Y1)，运算规则同(1)只是不移位。即在运算的最后一步，乘积不再右移。

注意：

（A）比较法中不管乘数为正为负，符号位都参加运算，克服了校正法的缺点

（B）运算过程中采用变形补码运算（双符号位）

（C）算法运算时的关键是YnYn+1的状态：后者（Yn+1）减前者（Yn），判断是加减（+/-X）

例 [X]补=0.1001 [Y]补=1.1011 求[X·Y]补

解 [-X]补 = 1.0111

所以得 [X·Y]补 = 1.11010011

为了提高乘法的运算速度，可采用两位乘法的方案，即直接按乘数的每两位的取值情况，一次求出对应于两位的部分积。

原码一位除法

加减交替法

例 X = -0.1011 Y=0.1101 求[X/Y]原

解： [X]原=1.1011 [Y]原=0.1101

[Y]补=0.1101 [-Y]补=1.0011

商的符号 Qs=1 0 = 1

所以 [X/Y]原 = 1.1101

余数=0.0111*2-4

浮点加减法运算

例 x = 0.1101×1001，y=- (0.1010)×1011，求x+y=?

解：

（1）对阶：

假定两数在计算机中采用补码制，则

[x]补=0001,00.1101 Ex=0001

[y]补=0011,11.0110 Ey=0011

求阶差：△E =Ex-Ey=0001+1101=1110，即△E =-2，表示x的阶码Ex小于y的阶码Ey，阶差为-2，所以应使x的尾数右移2位，阶码加2，则[x]补=0011,00.0011，这时△E =0，对阶完毕。

（2） 尾数求和（差）

x和y对阶后的尾数分别为：[Sx]补=00.0011，[Sy]补=11.0110

则 [Sx]补+[Sy]补=00.0011+11.0110=11.1001

∴ [x+y]补=0011,11.1001

（3） 规格化

和的尾数的两符号位相等，但小数点后的第一位也与符号位相等,不是规格化数，需要进行左规，即向左规格化：尾数左移一位，阶码减１，就可得到规格化的浮点数结果。

[x+y]补=0010,11.0010

浮点数乘法运算

例 已知 x=0.110000·10101 y=-0.111000·10100，设阶码数值部分各取5位，阶符2位；尾数数值部分各取6位，尾符2位，按机器浮点数运算步骤，求x·y。

解 ： (1) 求阶和

[Ex]补=0000101 [Ey]补=00 00100

[△E]补=[Ex]补 + [Ey]补 = 00 01001

(2) 尾数相乘

可利用原码或补码定点数乘法求尾数之乘积，可得

[Sx·Sy]原 =1.101010000000

或 [Sx·Sy]补 =1.010110000000

(3) 规格化

可看出[Sx·Sy]原或[Sx·Sy]补已是规格化形式，勿需规格化。

(4) 舍入

若取单字长乘积，可得[Sx·Sy]原=1.101010或[Sx·Sy]补=1.010110，所以

[x·y]原=1.101010·100001001

[x·y]补=1.010110·100001001

得 x·y = -0.101010·101001

= -101010000