欧几里德算法又称,用于计算两个a,b的。
其计算原理依赖于下面的定理:
定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)
证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个,则有d|a,d|b,而r = a - kb,因此d|r
因此d也是(b,a mod b)的
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
设计方法
是利用以下性质来确定两个正整数 a 和 b 的最大公因子的:(a > b)
⒈ 若 r 是 a ÷ b 的余数,且r不为0, 则
gcd(a,b) = gcd(b,r)
⒉ a 和其倍数之最大公因子为 a。
另一种写法是:
⒈ 令r为a/b所得余数(0≤r
若 r= 0,算法结束;b 即为答案。
⒉ 互换:置 a←b,b←r,并返回第一步。
C程序实现
unsigned int Gcd(unsigned int M,unsigned int N)
{
unsigned int Rem;
if(M < N)
{
M = M + N;
N = M - N;
M = M - N;
}
while(N > 0)
{
Rem = M % N;
M = N;
N = Rem;
}
return M;
}
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