【转】数组X和数据Y的中位数

题目：
    设x[1...n]和y[1...n]为两个数组，每个都包含n个已经排好序的数，给出一个求数组x和数组y中所有2n个元素的中位数的O(logn)时间的算法。

思路：
    递归求解该问题，解题规模不断减半，最后剩下4个元素时，得到问题的解。
    本文求的是下中位数，下中位数的特点是：
    （1）当n为奇数时，令n = 2 * m + 1，下中位数是第m + 1小的数，数组中有m个数小于下中位数，有m个数大于下中位数。当数组中的一个数满足以下特点中的任意一个时，认为该数不是下中位数：
            A. 至少有m + 1个数比x大；
            B. 至少有m + 1个数比x小；
    （2）当n为偶数时，令n = 2 * m，下中位数是第m + 1小的数，数组中有m个数小于下中位数，有m - 1个数大于下中位数。当数组中的一个数满足以下特点的任意一个时，认为该数不是下中位数：
            A. 至少有m个数比x大；
            B. 至少有m + 1个数比x小；

    令len_a为数组A中元素个数，len_b为数组B中元素的个数，mid_a是数组A中的下中位数，数组mid_b是B中的下中位数，a = len_a/2，b = len_b / 2。它们满足以下关系：
    （1）len_a和len_b初始时是相等的，经过对数组的处理后，依然相等，奇偶性相同，同理a和b也始终相等；
    （2）mid_a和mid_b的大小不确定，本文例举了mid_a > mid_b的处理方法。

    可以把问题分为以下两种情况：
    （1）len_a和len_b都是偶数，令len_a = 2 * a， len_b = 2 * b， a = b, mid_a > mid_b（初始情况）
    分析：
    在数组A中有a个数字小于mid_a，有a - 1个数字大于mid_b
    在数组B中有b个数字小于mid_b，有b - 1个数字大于mid_b
    mid_a > mid_b：大于mid_a的数字都大于mid_b，小于mid_b的数字都小于mid_a；
                               A和B中至少有a+b+1个数字小于mid_a，至少有a+b-1个数字大于mid_b
                               所有大于mid_a（不包括mid_a）的数字都不是中位数，所有小于mid_b（不包括mid_b）的数字都不是中位数
                               A[1....len_a] -> A[1....a+1] ， B[1....len_b] - > B[b + 1....len_b]

    （2）len_a和len_b都是奇数，令len_a  = 2 * a + 1，len_b = 2 * b + 1， a = b， mid_a > mid_b（初始情况）
    分析：
    在数组A中有a个数字小于mid_a，有a个数字大于mid_a
    在数组B中有b个数字小于mid_b，有b个数字大于mid_b
    mid_a > mid_b：大于mid_a的数字都大于mid_b，小于mid_b的数字都小于mid_a
                               A和B中至少有a+b+1个数字小于mid_a，至少有a+b+1个数字大于mid_b    
                               所有大于mid_a（不包括mid_a）的数字都不是中位数，所有小于mid_b（mid_b）的数字都不是中位数
                               A[1....len_a] - > A[1....a+1]， B[1....len_b] - > B[b + 1....len_b]
    
    经过上文中的分析，最终算法过程如下：
    Step1：分别求出两个数组的中值mid_a和mid_b，比较mid_a和mid_b的大小；
    Step2：如果mid_a = mid_b，那么这个值就是（len_a + len_b）个数中的中位数；
    Step3：如果mid_a > mid_b，A[1....len_a] -> A[1....a]， B[1....len_b] -> B[b + 1....len_b]，递归地对两个新数组求中位数；
    Step4：如果mid_a < mid_b，A[1....len_a] -> A[a + 1....len_a]， B[1....len_b] -> B[1....b]，递归地对两个新数组求中位数；
    Step5：反复Step1-Step4中的递归操作，直到两个数组中剩下的元素一共不超过4个，直接对这4个元素求中位数。
    
    代码如下所示。

//9.3-8
#include <iostream>
using namespace std;

void Print(int *A, int s, int e)
{
    int i;
    for(i = s; i <= e; i++)
        cout<<A[i]<<' ';
    cout<<endl;
}
//最坏情况线性时间的选择
//已经出现很多次了，不解释
int Partition(int *A, int p, int r)
{
    int x = A[r], i = p-1, j;
    for(j = p; j < r; j++)
    {
        if(A[j] <= x)
        {
            i++;
            swap(A[i], A[j]);
        }
    }
    swap(A[i+1], A[r]);
    return i+1;
}
int Select(int *A, int p, int r, int i);
//对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值
//插入排序很简单，不解释
int Insert(int *A, int start, int end, int k)
{
    int i, j;
    for(i = 2; i <= end; i++)
    {
        int t = A[i];
        for(j = i; j >= start; j--)
        {
            if(j == start)
                A[j] = t;
            else if(A[j-1] > t)
                A[j] = A[j-1];
            else
            {
                A[j] = t;
                break;
            }
        }
    }
    return A[start+k-1];
}
//根据文中的算法，找到中值的中值
int Find(int *A, int p, int r)
{
    int i, j = 0;
    int start, end, len = r - p + 1;
    int *B = new int[len/5+1];
    //每5个元素一组，长度为start到end，对每一组进行插入排序，并返回中值
    for(i = 1; i <= len; i++)
    {
        if(i % 5 == 1)
            start = i+p-1;
        if(i % 5 == 0 || i == len)
        {
            j++;
            end = i+p-1;
            //对每一组从start到end进行插入排序，并返回中值,如果是最后一组，组中元素个数可能少于5
            int ret = Insert(A, start, end, (end-start)/2+1);
            //把每一组的中值挑出来形成一个新的数组
            B[j] = ret;
        }
    }
    //对这个数组以递归调用Select()的方式寻找中值
    int ret = Select(B, 1, j, (j+1)/2);
    //delete []B;
    return ret;
}
//以f为主元的划分
int Partition2(int *A, int p, int r, int f)
{
    int i;
    //找到f的位置并让它与A[r]交换
    for(i = p; i < r; i++)
    {
        if(A[i] == f)
        {
            swap(A[i], A[r]);
            break;
        }
    }
    return Partition(A, p, r);
}
//寻找数组A[p..r]中的第i大的元素，i是从1开始计数，不是从p开始
int Select(int *A, int p, int r, int i)
{
    //如果数组中只有一个元素，则直接返回
    if(p == r)
        return A[p];
    //根据文中的算法，找到中值的中值
    int f = Find(A, p, r);
    //以这个中值为主元的划分，返回中值在整个数组A[1..len]的位置
    //因为主元是数组中的某个元素，划分好是这样的，A[p..q-1] <= f < A[q+1..r]
    int q = Partition2(A, p, r, f);
    //转换为中值在在数组A[p..r]中的位置
    int k = q - p + 1;
    //与所寻找的元素相比较
    if(i == k)
        return A[q];
    else if(i < k)
        return Select(A, p, q-1, i);
    else
        //如果主元是数组中的某个元素，后面一半要这样写
        return Select(A, q+1, r, i-k);
        //但是如果主元不是数组中的个某个元素，后面一半要改成Select(A, q, r, i-k+1)
}
int SelectMid(int *A, int start, int end)
{
    return Select(A, start, end, (end-start+1)/2+1);
}
//返回abcd中第二小的数，已经a<b,c<d
int GetRet(int a, int b, int c, int d)
{
    if(a < c)
    {
        if(c < b)
            return min(b, d);
        return c;
    }
    else
    {
        if(a < d)
            return min(b, d);
        return a;
    }
}
//算法过程
int solve(int *A, int *B, int n)
{
    int ret;
    int startA = 1, startB = 1, endA = n, endB = n;
    while(1)
    {
        if(endA == startA)
            return max(A[startA], B[startB]);
        //如果只剩下4个元素，返回4个元素中第2小的元素
        if(endA - startA == 1)
        {
            ret = GetRet(A[startA], A[endA], B[startB], B[endB]);
            break;
        }
        //分别求得A和B中的中值，这里处理的情况是A和B不是排序的
        //如果A和B是已经排序的，只需mid=A[(start+end)/2]就可以求得中值
        int midA = SelectMid(A, startA, endA);
        int midB = SelectMid(B, startB, endB);
//        cout<<midA<<' '<<midB<<endl;
//        Print(A, startA, endA);
//        Print(B, startB, endB);
        //SELECT算法包含划分的过程，所以可以直接截去不需要一半
        //去掉数组A的前一半和数组B的后一半，注意保证去掉后AB的数组元素个数相等
        if(midA == midB)
        {
            ret = midA;
            break;
        }
        //去掉A的前半和数组B的后半，注意截后两个数组的元素相等
        else if(midA < midB)
        {
            startA = startA + (endA - startA + 1) / 2;
            endB = endB - (endB - startB + 1) / 2;
        }
        //去掉B的前半和数组A的后半，注意截后两个数组的元素相等
        else
        {
            endA = endA - (endA-startA + 1) / 2;
            startB = startB + (endB - startB + 1) / 2;
        }
//        Print(A, startA, endA);
//        Print(B, startB, endB);
    }
    return ret;
}
//测试算法过程
int main()
{
    int n, i;
    while(cin>>n)
    {
        int *A = new int[n+1];
        int *B = new int[n+1];
        //生成随机数据
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            A[i] = rand() % 100;
            B[i] = rand() % 100;
        }
        //打印生成的数据
        Print(A, 1, n);
        Print(B, 1, n);
        //算法过程
        int ret = solve(A, B, n);
        //输出结果
        cout<<ret<<endl;
        delete A;
        delete B;
    }
    return 0;
}

        原地址：http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7690461                
            


                                                                                                             梦醒潇湘love
                                                                                                    2013年4月17日  20：48