主元素问题的线性时间算法

问题描述：

设T[0:n-1]是n个元素的数组。对任一元素x，设S(x)={i|T[i]=x}。当|S(x)|>n/2时，称x为T的主元素。设计一个线性时间算法，确定T[0:n-1]是否有一个主元素。

分析与解答：

（1）基于分治法的线性期望时间求主元素算法

中位数：数列排序后位于最中间的那个数，如果一个数列有主元素，那么必然是中位数。求一个数列有没有主元素，只要看中位数是不是主元素。

找中位数的方法：选择一个元素作为划分起点，然后用快速排序的方法将小于它的移动到左边，大于它的移动到右边。这样将元素划分为两个部分。此时，划分元素所在位置为k。如果k>n/2，那么继续用同样的方法在左边部分找；反之，就在右边部分找；k=n/2时，就找到了中位数。

根据快速排序的思想，可以在平均时间复杂度为O(n)的时间找出一个数列的中位数。然后再用O(n)的时间检查它是否为主元素。
    代码如下所示。

#include <iostream>
using namespace std;

#define MAXNUM 100

//基于分治法的线性期望时间求主元素算法
void Swap(int *a, int *b)
{
    int tmp = *a;
    *a = *b;
    *b = tmp;
}

//随机划分
int PartitionRandom(int a[], int first, int last)
{
    int priot = first + rand() % (last - first + 1);
    Swap(&a[first], &a[priot]);
    int key = a[first];

    while(first < last)
    {
        while(first < last && a[last] >= key)
        {
            last--;
        }
        Swap(&a[first], &a[last]);

        while(first < last && a[first] <= key)
        {
            first++;
        }
        Swap(&a[first], &a[last]);
    }
    return first;
}

int Select(int a[], int first, int last , int i)
{
    if(first == last)
    {
        return a[first];
    }
    int priot = PartitionRandom(a, first, last);
    int k = priot - first + 1;
    if(k == i)
    {
        return a[k];
    }
    if(k > i)
    {
        return Select(a, first, priot - 1, i);
    }
    else//k < i
    {
        return Select(a, priot + 1, last, i - k);
    }
}

void FindMaster(int a[], int length)
{
    int mid = length/2;
    int key = Select(a, 0, length - 1, mid);
    cout << "中位数为:" << key << endl;
    int count = 0;
    for(int i = 0; i < length; i++)
    {
        if(a[i] == key)
        {
            count++;
        }
    }
    if(count > mid)
    {
        cout << "主元素为:" << key << endl;
    }
    else
    {
        cout << "该数组中没有主元素" << endl;
    }

}

int main(int argc, char* argv[])
{
    int a[MAXNUM];
    int length;
    cout << "请输入数组元素个数:";
    cin >> length;
    for(int i = 0; i < length; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    cout << "输入的元素如下所示：" << endl;
    for(int i = 0; i < length; i++)
    {
        cout << a[i] << "  ";
    }
    cout << endl;

    FindMaster(a, length);

    return 0;
}

        时间复杂度分析：由于查找中位数的平均复杂度为O(n)，然后遍历一次数组，进行判定，时间辅助度为O(n)。所以，总的时间复杂度为O(n)+O(n) = O(n)。

（2）无序关系时求主元素的O(nlogn)算法
        若T 中存在主元素，则将T 分为两部分后，T 的主元素也必为两部分中至少一部分的主元素，因此可用分治法。
        将元素划分为两部分，递归地检查两部分有无主元素。算法如下：
        a. 若T 只含一个元素，则此元素就是主元素，返回此数。
        b. 将T 分为两部分T1 和T2（二者元素个数相等或只差一个），分别递归调用此方法求其主元素m1 和m2。
        c. 若m1 和m2 都存在且相等，则这个数就是T 的主元素，返回此数。
        d. 若m1 和m2 都存在且不等，则分别检查这两个数是否为T 的主元素，若有则返回此数，若无则返回空值。
        e. 若m1 和m2 只有一个存在，则检查这个数是否为T 的主元素，若是则返回此数，若否就返回空值。
        f. 若m1 和m2 都不存在，则T 无主元素，返回空值。

（3）无序集的主元素问题的线性时间算法
    这个问题可以采用《编程之美》上“寻找发帖水王”的方法。如果每次删除两个不同的数字（不管是否包含主元素的数字），那么在剩下的数字中，主元素的出现的次数仍然超过总数的一半。可以通过不断的重复这个过程，转化为更小的问题，从而得到答案。
      代码如下所示。

void Find(int a[], int length)
{
    int candidate;
    int i, ntimes;
    i = 0;
    ntimes = 0;

    for(i = 0; i < length; i++)
    {
        if(ntimes == 0)//计数为0时，读入新的元素，计数加1
        {
            candidate = a[i];
            ntimes = 1;
        }
        else
        {
            if(candidate == a[i])//如果数据相同，计数加1
            {
                ntimes++;
            }
            else
            {
                ntimes--;    //如果计数不同，则计数减1，相当于删除了两个元素
            }
        }
    }

    int count = 0;
    for(i = 0; i <length; i++)
    {
        if(candidate == a[i])
            count++;
    }
    //最终得到的candidate元素有可能是序列最末位的两个元素之一
    //因此，需要验证
    if(count > length/2)
    {
        cout << endl << "主元素为: " << candidate << endl;
    }
    else
    {
        cout << "没有主元素." << endl;
    }
}

        时间复杂度分析：遍历一次数组需要O(n)的时间，所以总的时间复杂度为O(n)，且只需要常数的额外内存。




        参考：《算法设计实验题解》、http://blog.sina.com.cn/s/blog_4ae8f77f0100uptr.html，感谢这位朋友的思路。



                                                                        梦醒潇湘love
                                                                2013年4月16日 14:22