分类： C/C++
2007-03-21 21:08:41
函数的递归调用与分治策略
递归方法是算法和程序设计中的一种重要技术。递归方法即通过函数或过程调用自身将问题转化为本质相同但规模较小的子问题。递归方法具有易于描述和理解、证明简单等优点，在动态规划、贪心算法、回溯法等诸多算法中都有着极为广泛的应用，是许多复杂算法的基础。递归方法中所使用的“分而治之”的策略也称分治策略。
构造递归方法的关键在于建立递归关系。这里的递归关系可以是递归描述的，也可以是递推描述的。下面由一个求n的阶乘的程序为例，总结出构造递归方法的一般步骤。
[例1]从键盘输入正整数N（0<=N<=20），输出N!。
[分析]N!的计算是一个典型的递归问题。使用递归方法来描述程序，十分简单且易于理解。
[步骤1]描述递归关系 递归关系是这样的一种关系。设{U1,U2,U3,…,Un…}是一个序列，如果从某一项k开始，Un和它之前的若干项之间存在一种只与n有关的关系，这便称为递归关系。
注意到，当N>=1时，N!=N*(N-1)!（N=1时，0!=1），这就是一种递归关系。对于特定的K!，它只与K与(K-1)!有关。
[步骤2]确定递归边界 在步骤1的递归关系中，对大于k的Un的求解将最终归结为对Uk的求解。这里的Uk称为递归边界（或递归出口）。在本例中，递归边界为k=0，即0!=1。对于任意给定的N!，程序将最终求解到0!。
确定递归边界十分重要，如果没有确定递归边界，将导致程序无限递归而引起死循环。例如以下程序：
#include
int f(int x){
return(f(x-1));
}
main(){
cout<
}
它没有规定递归边界，运行时将无限循环，会导致错误。
[步骤3]写出递归函数并译为代码 将步骤1和步骤2中的递归关系与边界统一起来用数学语言来表示，即
n!=
1 当N=0时
再将这种关系翻译为代码，即一个函数：
long f(int n){
if (n==0)
return(1);
else
return(n*f(n-1));
}
[步骤4]完善程序 主要的递归函数已经完成，将程序依题意补充完整即可。
//ex1.cpp
#include
long f(int n){
if (n==0)
return(1);
else
return(n*f(n-1));
}
main(){
int n;
cin>>n;
cout<
}
综上，得出构造一个递归方法基本步骤，即描述递归关系、确定递归边界、写出递归函数并译为代码，最后将程序完善。以下继续引用一些例子来讨论递归方法的应用。
以下讨论两个十分经典的递归问题。它们的算法构造同样遵循刚刚得出的四个步骤。了解这两个问题可加深对递归方法的理解。
[例2]Fibonacci数列（兔子繁殖）问题：已知无穷数列A，满足：A(1)=A(2)=1，A(N)=A(N-1)+A(N-2)（N>=3）。从键盘输入N，输出A(N)。
[分析]递归关系十分明显，由A(N)的表达式给出。需要注意的是本例中对于N>=3，A(N)的值与A(N-1)和A(N-2)都有关。
[代码]
//ex2.cpp
#include
long fibonacci(int x)
{
if ( (x==1) || (x==2) )
return(1);
else
return(fibonacci(x-1)+fibonacci(x-2));
}
main(){
int n;
cin>>n;
cout>>endl>>fibonacci(n);
}
[例3]Hanoi塔问题。
[问题描述]在霍比特人的圣庙里，有一块黄铜板，上面插着3根宝石针（分别为A号，B号和C号）。在A号针上从下到上套着从大到小的n个圆形金片。现要将A针上的金片全部移到C针上，且仍按照原来的顺序叠置。移动的规则如下：这些金片只能在3根针间移动，一次只能一片，且任何时候都不允许将较大的金片压在较小的上面。从键盘输入n，要求给出移动的次数和方案。
[分析]由金片的个数建立递归关系。当n=1时，只要将唯一的金片从A移到C即可。当n>1时，只要把较小的(n-1)片按移动规则从A移到B，再将剩下的最大的从A移到C（即中间“借助”B把金片从A移到C），再将B上的(n-1)个金片按照规则从B移到C（中间“借助”A）。
本题的特点在于不容易用数学语言写出具体的递归函数，但递归关系明显，仍可用递归方法求解。
[代码]
//ex3.cpp
#include
if (n==1)
cout<<"1 "<
else
{
cout<
}
}
main(){
int n;
cout<<"Please enter the number of
cin>>n;
cout<<"Answer:"<
}
许多算法都采用了分治策略求解，而可以说分治与递归是一对孪生兄弟，它们经常同时被应用于算法的设计中。下面讨论著名的Catalan数问题，人们在对它的研究中充分应用了分治策略。
[例4]Catalan数问题。
[问题描述]一个凸多边形，通过不相交于n边形内部的对角线，剖分为若干个三角形。求不同的剖分方案总数H(n)。H(n)即为Catalan数。例如，n=5时H(5)=5。
[分析]Catalan数问题有着明显的递归子问题特征。在计算Catalan数时虽然可以推导出只关于n的一般公式，但在推导过程中却要用到递归公式。下面讨论三种不同的解法，其中第三种解法没有使用递归，它是由前两种解法推导而出的。
[解法1]对于多边形V1V2…Vn，对角线V1Vi（i=3,4,…,n-1）将其分为两部分，一部分是i边形，另一部分是n-i+1边形。因此，以对角线V1Vi为一个剖分方案的剖分方案数为H(i)*H(n-i+1)。还有一种的特殊情形，是对角线V2Vn将其分为一个三角形V1V2Vn和一个n-2+1边形。为了让它同样符合粗体字给出的公式，规定H(2)=1。于是得到公式：
H(n)=∑H(i)*H(n-i+1) （i=2,3,…,n-1） ----公式(1)
H(2)=1
有了这个递归关系式，就可以用递推法或递归法解出H(n)。
[解法2]从V1向除了V2和Vn外的n-3个顶点可作n-3条对角线。每一条对角线V1Vi把多边形剖分成两部分，剖分方案数为H(i)*H(n-i+2)，由于Vi可以是V3V4…Vn-1中的任一点，且V1可换成V2，V3，…，Vn中任一点也有同样的结果。考虑到同一条对角线在2个顶点被重复计算了一次，于是对每个由顶点和对角线确定的剖分方案都乘以1/2，故有
H(n)=n∑(1/2)H(i)*H(n-i+2) （i=3,4,…,n-1）
把(1/2)提到∑外面，
H(n)=n/(2*(n-3))∑H(i)*H(n-i+2) （i=3,4,…,n-1） ----公式(2)
规定H(2)=H(3)=1，这是合理的。
由公式(2)和H(2)=1，同样可以用递推法或递归法解出H(n)。
[解法3] 把公式(1)中的自变量改为n+1，再将刚刚得出的公式(2)代入公式(1)，得到
H(n+1)=∑H(i)*H(n-i+2) （i=2,3,…,n） 由公式(1)
H(n+1)=2*H(n)+∑H(i)*H(n-i+2) （i=3,4,…,n-1） 由H(2)=1
H(n+1)=(4n-6)/n*H(n) 由公式(2)
H(n)=(4n-10)/(n-1)*H(n-1) ----公式(3)
这是一个较之前两种解法更为简单的递归公式，还可以继续简化为
H(n)=1/(n-1)*C(n-2,2n-4) ----公式(4)
这就不需要再使用递归算法了。然而在程序设计上，公式(4)反而显得更加复杂，因为要计算阶乘。因此最后给出由公式(3)作为理论依据范例程序代码。代码相当简单，这都归功于刚才的推导。如果用前两种解法中的递归关系，程序会变得复杂且容易写错。因此，有时对具体问题将递归关系公式进行必要的化简也是至关重要的。
[代码]
//ex4.cpp
#include
#define MAXN 100
long f(int x){
if (x==3)
return(1);
else
return((4*x-10)*f(x-1)/(x-1));
}
main(){
int n;
cout<<"\nPlease input N for a Catalan number:";
cin>>n;
if ( (n<=MAXN) && (n>=3) )
cout<<"The answer is:"<
}
本例编程时还有一个细节问题需要注意。注意函数f中的斜体部分，按照公式(4)计算时一定要先进行乘法再进行除法运算，因为(4*x-10)并不总能整除(x-1)，如果先进行除法则除出的小数部分将自动被舍去，从而导致得到不正确的解。
数学上许多有重要意义的计数问题都可以归结为对Catalan数的研究。可以看到，本例中的递归关系经简化还是相当简单的。下面讨论一个递归关系略为复杂的例子。
