散列表

散列方法不同于顺序查找、二分查找、二叉排序树及B-树上的查找。它不以关键字的比较为基本操作，采用直接寻址技术。在理想情况下，无须任何比较就可以找到待查关键字，查找的期望时间为O(1)。

散列表的概念

1、散列表
    　设所有可能出现的关键字集合记为U(简称全集)。实际发生(即实际存储)的关键字集合记为K（|K|比|U|小得多）。
    　散列方法是使用函数h将U映射到表T[0..m-1]的下标上（m=O(|U|)）。这样以U中关键字为自变量，以h为函数的运算结果就是相应结点的存储地址。从而达到在O(1)时间内就可完成查找。
  其中：
　    ① h：U→{0，1，2，…，m-1} ，通常称h为散列函数(Hash Function)。散列函数h的作用是压缩待处理的下标范围，使待处理的|U|个值减少到m个值，从而降低空间开销。
    　② T为散列表(Hash Table)。
    　③ h(K_i)(K_i∈U)是关键字为K_i结点存储地址(亦称散列值或散列地址)。
    　④ 将结点按其关键字的散列地址存储到散列表中的过程称为散列(Hashing)
  

3、散列表的冲突现象
（1）冲突
    　两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)。
  　【例】上图中的k₂≠k₅，但h(k₂)=h(k₅)，故k₂和K₅所在的结点的存储地址相同。

（2）安全避免冲突的条件
    　最理想的解决冲突的方法是安全避免冲突。要做到这一点必须满足两个条件：
①其一是|U|≤m
②其二是选择合适的散列函数。
　    这只适用于|U|较小，且关键字均事先已知的情况，此时经过精心设计散列函数h有可能完全避免冲突。

（3）冲突不可能完全避免
    　通常情况下，h是一个压缩映像。虽然|K|≤m，但|U|>m，故无论怎样设计h，也不可能完全避免冲突。因此，只能在设计h时尽可能使冲突最少。同时还需要确定解决冲突的方法，使发生冲突的同义词能够存储到表中。

（4）影响冲突的因素
    　冲突的频繁程度除了与h相关外，还与表的填满程度相关。
    　设m和n分别表示表长和表中填人的结点数，则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大，表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。

 

散列函数的构造方法

1、散列函数的选择有两条标准：简单和均匀。
    　简单指散列函数的计算简单快速；
    　均匀指对于关键字集合中的任一关键字，散列函数能以等概率将其映射到表空间的任何一个位置上。也就是说，散列函数能将子集K随机均匀地分布在表的地址集{0，1，…，m-1}上，以使冲突最小化。

2、常用散列函数
    　为简单起见，假定关键字是定义在自然数集合上。

（1）平方取中法
    　具体方法：先通过求关键字的平方值扩大相近数的差别，然后根据表长度取中间的几位数作为散列函数值。又因为一个乘积的中间几位数和乘数的每一位都相关，所以由此产生的散列地址较为均匀。
  　【例】将一组关键字(0100，0110，1010，1001，0111)平方后得
    (0010000，0012100，1020100，1002001，0012321)
  　若取表长为1000，则可取中间的三位数作为散列地址集：
    (100，121，201，020，123)。
相应的散列函数用C实现很简单：
int Hash(int key){ //假设key是4位整数
  key*=key； key/=100； //先求平方值，后去掉末尾的两位数
  return key％1000； //取中间三位数作为散列地址返回
 }

（2）除余法
    　该方法是最为简单常用的一种方法。它是以表长m来除关键字，取其余数作为散列地址，即 h(key)=key％m
    　该方法的关键是选取m。选取的m应使得散列函数值尽可能与关键字的各位相关。m最好为素数。
  　【例】若选m是关键字的基数的幂次，则就等于是选择关键字的最后若干位数字作为地址，而与高位无关。于是高位不同而低位相同的关键字均互为同义词。
  　【例】若关键字是十进制整数，其基为10，则当m=100时，159，259，359，…，等均互为同义词。

（3）相乘取整法
    　该方法包括两个步骤：首先用关键字key乘上某个常数A(0         
    　该方法最大的优点是选取m不再像除余法那样关键。比如，完全可选择它是2的整数次幂。虽然该方法对任何A的值都适用，但对某些值效果会更好。Knuth建议选取
             
    　该函数的C代码为：
int Hash(int key){
  double d=key *A； //不妨设A和m已有定义
  return (int)(m*(d-(int)d))；//(int)表示强制转换后面的表达式为整数
 }

（4）随机数法
    　选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的散列地址，即
         h(key)=random(key)
  　其中random为伪随机函数，但要保证函数值是在0到m-1之间。

处理冲突的方法

    　通常有两类方法处理冲突：开放定址(Open Addressing)法和拉链(Chaining)法。前者是将所有结点均存放在散列表T[0..m-1]中；后者通常是将互为同义词的结点链成一个单链表，而将此链表的头指针放在散列表T[0..m-1]中。

1、开放定址法
（1）开放地址法解决冲突的方法
    　用开放定址法解决冲突的做法是：当冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找到给定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空)为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表中无待查的关键字，即查找失败。
  注意：
 ①用开放定址法建立散列表时，建表前须将表中所有单元(更严格地说，是指单元中存储的关键字)置空。
 ②空单元的表示与具体的应用相关。
【例】关键字均为非负数时，可用"-1"来表示空单元，而关键字为字符串时，空单元应是空串。
　    总之：应该用一个不会出现的关键字来表示空单元。

（2）开放地址法的一般形式
　    开放定址法的一般形式为： h_i=(h(key)+d_i)％m 1≤i≤m-1 
其中：
   　 ①h(key)为散列函数，d_i为增量序列，m为表长。
    　②h(key)是初始的探查位置，后续的探查位置依次是h_l，h₂，…，h_m-1，即h(key)，h_l，h₂，…，h_m-1形成了一个探查序列。
   　 ③若令开放地址一般形式的i从0开始，并令d₀=0，则h₀=h(key)，则有：
          h_i=(h(key)+d_i)％m 0≤i≤m-1 
       探查序列可简记为h_i(0≤i≤m-1)。

（3）开放地址法堆装填因子的要求
    　开放定址法要求散列表的装填因子α≤l，实用中取α为0.5到0.9之间的某个值为宜。

（4）形成探测序列的方法
    　按照形成探查序列的方法不同，可将开放定址法区分为线性探查法、二次探查法、双重散列法等。
①线性探查法(Linear Probing)
该方法的基本思想是：
　    将散列表T[0..m-1]看成是一个循环向量，若初始探查的地址为d(即h(key)=d)，则最长的探查序列为：
        d，d+l，d+2，…，m-1，0，1，…，d-1
    　即:探查时从地址d开始，首先探查T[d]，然后依次探查T[d+1]，…，直到T[m-1]，此后又循环到T[0]，T[1]，…，直到探查到T[d-1]为止。

探查过程终止于三种情况：
    　(1)若当前探查的单元为空，则表示查找失败（若是插入则将key写入其中）；
　    (2)若当前探查的单元中含有key，则查找成功，但对于插入意味着失败；
    　(3)若探查到T[d-1]时仍未发现空单元也未找到key，则无论是查找还是插入均意味着失败(此时表满)。

利用开放地址法的一般形式，线性探查法的探查序列为：
        h_i=(h(key)+i)％m 0≤i≤m-1 //即d_i=i

散列表上的运算

    　散列表上的运算有查找、插入和删除。其中主要是查找，这是因为散列表的目的主要是用于快速查找，且插入和删除均要用到查找操作。

1、散列表类型说明：
#define NIL -1 //空结点标记依赖于关键字类型，本节假定关键字均为非负整数
#define M 997 //表长度依赖于应用，但一般应根据。确定m为一素数
typedef struct{ //散列表结点类型
  KeyType key；
  InfoType otherinfo； //此类依赖于应用
 }NodeType；
typedef NodeType HashTable[m]； //散列表类型

2、基于开放地址法的查找算法
    　散列表的查找过程和建表过程相似。假设给定的值为K，根据建表时设定的散列函数h，计算出散列地址h(K)，若表中该地址单元为空，则查找失败；否则将该地址中的结点与给定值K比较。若相等则查找成功，否则按建表时设定的处理冲突的方法找下一个地址。如此反复下去，直到某个地址单元为空(查找失败)或者关键字比较相等(查找成功)为止。

（1）开放地址法一般形式的函数表示
  int Hash(KeyType k，int i)
   { //求在散列表T[0..m-1]中第i次探查的散列地址hi，0≤i≤m-1
    //下面的h是散列函数。Increment是求增量序列的函数，它依赖于解决冲突的方法
     return(h(K)+Increment(i))％m； //Increment(i)相当于是d_i
   }
    若散列函数用除余法构造，并假设使用线性探查的开放定址法处理冲突，则上述函数中的h(K)和Increment(i)可定义为：
  int h(KeyType K){ //用除余法求K的散列地址
    return K％m；
  }

  int Increment(int i){//用线性探查法求第i个增量d_i
    return i; //若用二次探查法，则返回i*i
   }