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2016年(9)

我的朋友

分类: C/C++

2016-12-24 15:25:34


背包问题
ZT:http://www.tuicool.com/articles/算法分析之动态规划详解


先举个例子01背包问题具体例子:假设现有容量15kg的背包,另外有4个物品,分别为a1,a2,a3, a4。物品a1重量为3kg,价值为4;物品a2重量为4kg,价值为5;物品a3重量为5kg,价值为6, a4重6千克,价值为7。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大?


对于这样的问题,如果如上述所涉及的数据比较少的时候,我们通过列举就能算出来,例如,上边的例子的答案是:将a4和a3与a2放入背包中,这样总重量为6+5+4=15,总价值为5+6+7=18,这样总价值最大。但是如果上述给出的条件很多,此时我们光靠用眼睛看是绝对不行的,所以我们要用上动态规划的思想。


关于动态规划的思想是如何建立的,若初学者对动态规划还是很迷惑的,可以打开下面的文章链接。


点击打开链接  http://blog.csdn.net/u014028070/article/details/39695669


动态规划的基本思想与分治法类似,也是将待求解的问题分解为若干个子问题(阶段),按顺序求解子阶段,前一子问题的解,为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时,列出各种可能的局部解,通过决策保留那些有可能达到最优的局部解,丢弃其他局部解。依次解决各子问题,最后一个子问题就是初始问题的解。


由于动态规划解决的问题多数有重叠子问题这个特点,为减少重复计算,对每一个子问题只解一次,将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中。


与分治法最大的差别是:适合于用动态规划法求解的问题,经分解后得到的子问题往往不是互相独立的(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解)。


我们以01背包为例子:


思路:先将原始问题一般化,欲求背包能够获得的总价值,即欲求前i个物体放入容量为m(kg)背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值。而前i个物体放入容量为m(kg)的背包,又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。


表达式中各个符号的具体含义。


w[i] : 第i个物体的重量;


p[i] : 第i个物体的价值;


c[i][m] :前i个物体放入容量为m的背包的最大价值;


c[i-1][m] :前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值;


c[i-1][m-w[i]] : 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值;


由此可得:


c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}(此时用到递归)


引用网上的一个图更能说明情况:


问题分析:令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值,则可以得到如下的动态规划函数:


(1)   V(i,0)=V(0,j)=0


(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j

V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) }j>wi


(1)式表明:如果第i个物品的重量大于背包的容量,则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的,即物品i不能装入背包;第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量,则会有一下两种情况:(a)如果把第i个物品装入背包,则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包,则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然,取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

#include

#include


int V[200][200] = { 0 };//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值

//memset(V,0,40000);

int max(int a,int b)  //一个大小比较函数,用于当总重大于第I行时 

{

   if(a>=b)

  return a;

   else return b;

}


int Knap(int n,int* w,int* v,int* x,int C)

{

int i,j;

for(i=0;i<=n;i++)

   V[i][0]=0;

for(j=0;j<=C;j++)

   V[0][j]=0;

for(i=1;i<=n-1;i++)

for(j=1;j<=C;j++){

if(j

  V[i][j]=V[i-1][j];

else

  V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);

}

j=C;

for(i=n-1;i>=0;i--)

{

if(V[i][j]>V[i-1][j])

{

x[i]=1;

j=j-w[i];

}

else

x[i]=0;   

}

printf("选中的物品是:\n");

for(i=0;i

printf("%d ",x[i]);

printf("V[%d][%d]=%d\n",n-1,C,V[n-1][C]);

printf("\n");

return V[n-1][C];

}


int main()

{

int s;//获得的最大价值

int w[4]={3,4,5,6};//物品的重量   重量  价值  和物品的状态 均对应着存到数组中,物品从1开始。 

int v[4]={4,5,6,7};//物品的价值

int x[4];//物品的选取状态   选中则是1  没选中为0 

int n,i;

int C=15;//背包最大容量

n=4;

//printf("请输入背包的最大容量:\n");

//scanf("%d",&C);

printf("物品重量:%d \n",C);

printf("物品数:%d\n",n);

//scanf("%d",&n);

//printf("请分别输入物品的重量:\n");

//for(i=0;i

//scanf("%d",&w[i]);


//printf("请分别输入物品的价值:\n");

//for(i=0;i

// scanf("%d",&v[i]);


s=Knap(n,w,v,x,C);  //调用核心函数 


printf("最大物品价值为:\n");

printf("%d\n",s);

//system("pause");

return 0;


}

wangpengdeMacBook-Pro:c-test wp$ 


结果是:
 

物品重量:15 

物品数:4

选中的物品是:

0 1 1 1 V[3][15]=18


最大物品价值为:

18





暂时就理解这么多,还在不断学习中

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