[32期] 关于递归函数的数学原理

考试了，其中有一道题是关于递归函数的，我卡到那了，当时考完的时候我突然想起我曾经也拜倒在它的脚下，那次是高中。

高中的时候就出现很多递归函数，应该是在“级数”那里的习题中出现的，而且还不少。还是从例子开始吧：

f(x)=f(x-1)+x*x ,其中x>0且f(0)=0 求f(4)
解: 由于f(0)=0:
当x=1 时 f(1)=f(0)+1*1=1;
当x=2 时 f(2)=f(1)+2*2=5;
当x=3 时 f(3)=f(2)+3*3=14;
当x=4 时 f(4)=f(3)+4*4=30;
所以, f(4)=30.
上学的时候，可能会这样做出来。

f(x)=f(x-1)+x*x ,其中x>0且f(0)=0 就是一个递归函数，它用到了f(x)是用f(x-1)定义的。细心的人还可以发现x>0且f(0)=0也是函数的一部分：
x>0提供一个递归区间，而f(0)=0提供了一个初始条件（思维方向不同，在电脑思维中这个条件为终止条件，详见下文）。
或许大家觉得和我们课堂上的递归还是有点不同，不同在哪呢？

这就是人脑和电脑的区别：
电脑不会直接去找初始条件去向问题递推。
而是从问题出发，递推下去，直到找到终止条件(解题时的初始条件)。

电脑思维:
f(4)=f(3)+4*4;
f(3)=f(2)+3*3
f(2)=f(1)+2*2
f(1)=f(0)+1*1
f(0)=0; //终止条件
f(1)=f(0)+1*1=1;
f(2)=f(1)+2*2=5;
f(3)=f(2)+3*3=14;
f(4)=f(3)+4*4=30;

这个是电脑的思维过程，也就是计算过程，不会在前台显示出来。
“遇到问题，解决问题，输出结果”——这是电脑处理问题的流程。
关键在于，怎么写个递归函数让电脑认识。
明白递归函数的定义，其实很简单。

递归函数有三个充分条件：第一是函数体，第二是递归区间，第三个是终止条件，
只要在代码中全部申明出来，一个递归函数的就写出来了。


上面的递归函数的就可以写出下面的代码:
function squaresum($x){
if($x>0) //递归区间
$result=squaresum($x-1)+$x*$x; //函数体
elseif($x=0) //终止条件
return $result=0;
return $result;
}
echo squaresum(4); //输出30

其中用到了if...elseif…语句，这就是来声明递归函数的递归区间和终止条件(x>0且f(0)=0)的。

现在在来写一个正整数n的n! 的递归函数就思路很明确了。
分析：正整数n , f(n)=n! =>
函数体：f(n)=n*f(n-1)； 递归区间：n.> 1； 终止条件：n=1；

function rank($n){
if($n>1)
$result=$n*rank($n-1);
elseif($n=1)
return $result=1;
return $result.'
';
}
由此我们可以发现当要写一个递归函数，找到终止条件，一个递归函数就很明朗了，剩下就是语法问题了。
注：手边没有参考书，直接写的例子，里面的专用名词也是自己命名的，有不严谨的地方的话，请见谅。

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