约瑟夫环问题

约瑟夫环问题是一道经典的数据结构题目
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
一般我们采用一个循环队列来模拟约瑟夫环的求解过程，但是如果n比较大的时候，采用模拟的方式求解，需要大量的时间来模拟退出的过程，而且由于需要占用大量的内存空间来模拟队列中的n个人，并不是一个很好的解法。
在大部分情况下，我们仅仅需要知道最后那个人的编号，而不是要来模拟一个这样的过程，在这种情况下，可以考虑是否存在着一种数学公式能够直接求出最后那个人的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
我们先看第一个人出列后的情况，显而易见，第一个出列的人的编号一定是m%n-1,这个人出列后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环，这个约瑟夫环的第一个人在最开始的环中的编号是k=m%n（就是第一个出列的人的下一个）
k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
事实上，可以把这个环又映射成为一个新的环：
k  --- 0
k+1 --- 1
k+2 --- 2
...  ....
k-2 -- n-1
可以看出，这就是原问题中把n替换成n-1的情况，假设我们已经求出来在这种情况下最后胜利的那个人的编号是x，那个倒推回去的那个人的编号就正好是我们要求的答案，显而易见，这个编号应该是(x+k)%n
那么如何知道n-1个人下面的这个x呢，yes，就是n-2个人情况下得到的x'倒推回去，那么如何知道n-2情况下的x'呢，当然是求n-3个人，这就是一个递归的过程
f(1) = 0（f(1)就是现在还剩下1个人，那么无论m为几，这个人总会出列，因此f(1)=0)
f(n) = (f(n-1)+m)%n
那么我们要求f(n)，就从f(1)倒推回去即可

<?php
/**
 * 约瑟夫问题
 * @param $n 总共的人数
 * @param $m 第m个人出列
 * f(1)=0;
 * f(2)=(f(1)+m)%2
 * .....
 * f(n)=(f(n-1)+m)%n
 */

function yesefu($n,$m){
    $last=0;
    for($i=2;$i<=$n;$i++){
        $last=($last+$m)%$i;
    }
    return $last+1;//中国人习惯从一开始编号，所以返回值+1

}
echo yesefu(5,2);
?>

这种方法比模拟的方法快多了，我们在碰到问题的时候，可以想一想是否有数学公式来求解