Zernike矩

Zernike在1934年引入了一组定义在单位圆 上的复值函数集{ }，{ }具有完备性和正交性，使得它可以表示定义在单位圆盘内的任何平方可积函数。其定义为：

 表示原点到点 的矢量长度； 表示矢量 与 轴逆时针方向的夹角。

 是实值径向多项式：

称为Zernike多项式。

Zernike多项式满足正交性：

其中

 为克罗内克符号， 

 是 的共轭多项式。

由于Zernike多项式的正交完备性，所以在单位圆内的任何图像 都可以唯一的用下面式子来展开：

式子中 就是Zernike矩，其定义为：

注意式子中 和 采用的是不同的坐标系（ 采用直角坐标，而 采用的极坐标系，在计算的时候要进行坐标转换）

对于离散的数字图像，可将积分形式改为累加形式：

 

我们在计算一副图像的Zernike矩时，必须将图像的中心移到坐标的原点，将图像的像素点映射到单位圆内，由于Zernike矩具有旋转不变性，我们可以将 作为图像的不变特征，其中图像的低频特征有p值小的 提取，高频特征由p值高的 提取。从上面可以看出，Zernike矩可以构造任意高阶矩。

由于Zernike矩只具有旋转不变性，不具有平移和尺度不变性，所以要提前对图像进行归一化，我们采用标准矩的方法来归一化一副图像，标准矩定义为：

 ，

由标准矩我们可以得到图像的"重心"，

我们将图像的"重心"移动到单位圆的圆心（即坐标的原点），便解决了平移问题。

我们知道 表征了图像的"面积"，归一图像的尺度无非就是把他们的大小变为一致的，（这里的大小指的是图像目标物的大小，不是整幅图像的大小，"面积"也是目标物的"面积"）。

所以，对图像进行变换 就可以达到图像尺寸一致的目的。

综合上面结果，对图像进行 变换，最终图像 的Zernike矩就是平移，尺寸和旋转不变的。

Zernike 不变矩相比 Hu 不变矩识别效果会好一些，因为他描述了图像更多的细节内容，特别是高阶矩，但是由于 Zernike 不变矩计算时间比较长，所以出现了很多快速的算法，大家可以 google 一下。

用 Zernike 不变矩来识别手势轮廓，识别率大约在 40%~50% 之间，跟 Hu 不变矩一样， Zernike 不变矩一般用来描述目标物形状占优势的图像，不适合用来描述纹理丰富的图像，对于纹理图像，识别率一般在 20%~30% 左右，很不占优势