分类: C/C++
2011-12-30 09:26:04
Lagrange(拉格朗日,1736~1813)18世紀最偉大的數學家之二,另一位是長他29歲的 Euler(尤拉,1707~1783)。Euler 賞識 Lagrange,在1766年和 d'Alembert 一起推薦 Lagrange 為(柏林科學院)Euler 的繼承人。
在他一生浩瀚的工作中,最為所有數學家熟知的發明就是 Lagrange multiplier(拉格朗日乘數)或 Lagrange multiplier method,這是一個求極值的方法。比方在兩個變數的時候,我們要找 f(x,y) 的極值,一個必要的條件是:
但是如果 x,y 的範圍一開始就被另一個函數 g(x,y)=0 所限制,Lagrange 提出以
首先我們注意,要解的是 x,y 和 λ 三個變數,而
雖然有三個方程式,原則上是可以解得出來的。
以 f(x,y)=x,
g(x,y)=x2+y2-1 為例,當 x,y 被限制在 x2+y2-1=0 上活動時,對下面三個方程式求解
答案有兩組,分別是 x=1,y=0,
讀者可能認為為何不把 x2+y2-1=0 這個限制改寫為
這個方法的意義為何?原來在 g(x,y)=0 的時候,不妨把 y 想成是 x 的隱函數,而有 g(x,y(x))=0,並且 f(x,y) 也變成了 f(x,y(x))。令
和(因為 因此有行列式為 0 的結論。 這表示 fx,fy 和 gx,gy 成比例,所以有 λ
另外一個解釋是幾何圖形的角度來考量。我們考慮 f(x,y) 的等位曲線,亦即 f(x,y)=c 諸曲線,如果曲線 f(x,y)=c 與 g(x,y)=0 互相穿過,亦即如果互不相切,則 f(x,y) 稍稍大於 c(或稍稍小於 c)都會持續穿過 g(x,y)=0,這就表示在 g(x,y)=0 之上,c 不可能是一個極值,反過來說,如果 c 是極值的話,f(x,y)=c 這條曲線和 g(x,y)=0 一定互相切著,會有相同的切線,也可以說有相同的法線。但是 f(x,y)=c 和 g(x,y)=0 的法線方向分別是
λ 待定。從這裡也可以看出萬一 乘數法有許多用處,舉凡在若干限制條件之下求極值的問題,都可以考慮引用這個方法。當然如前所述,引用本法雖然有若干限制,這些限制反映了問題本身的特質,本來就是問題的一部分,值得好好推敲。 Lagrange 一生貢獻無數,Boyer 讚美他是
... the keenest mathematician of the eighteenth century ... 他所發明的乘數法展現了他對這類問題敏銳的洞察力。這正是 "keenest" 最佳的詮釋。
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