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分类: C/C++

2010-08-28 10:04:51

浮点数在内存中的存储格式

由一个程序开始

#include

using namespace std;

int main(int argc, char* argv[])
{
    float a = 1.0f;
//浮点数在内存中是以符号+指数+尾数保存的

    cout<<(int&)a<<endl;
//1.0f在内存中的保存的是0x3f800000,将a地址开始的sizeof(int)个字节当做int类型的输出106535216

    int b = 0x3f800000;
    cout<<b<<endl;
//106535216

    cout<<(int)a<<endl;
//1
    return 0;
}

上例中:1.0的浮点形式,在内存中是这样存的:

   0011 1111 1000 0000 0000 0000 0000 0000

符号部分:0(粉红背景处);

指数部分:127+0=127(黄色背景处) 

底数部分:0(蓝色背景处)

转换为十进制就是:106535216

 

----------------------以下介绍浮点数的存储---------------------------

浮点数:
     浮点型变量在计算机内存中占用4字节(Byte),即32-bit。遵循IEEE-754格式标准。一个浮点数由2部分组成:底数m 和指数e。

    ±mantissa × 2exponent
(注意,公式中的mantissa 和 exponent使用二进制表示)
   底数部分 使用2进制数来表示此浮点数的实际值。
   指数部分 占用8-bit的二进制数,可表示数值范围为0-255。
   指数应可正可负,所以IEEE规定,此处算出的次方须减去127才是真正的指数。所以float的指数可从 -126到128
   底数部分实际是占用24-bit的一个值,由于其最高位始终为 1 ,所以最高位省去不存储,在存储中只有23-bit。
   到目前为止, 底数部分 23位加上指数部分 8位使用了31位。那么前面说过,float是占用4个字节即32-bit,那么还有一位是干嘛用的呢? 还有一位,其实就是4字节中的最高位,用来指示浮点数的正负,当最高位是1时,为负数,最高位是0时,为正数。

   浮点数据就是按下表的格式存储在4个字节中:

    Address+0 Address+1 Address+2 Address+3

   Contents SEEE EEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMM MMMM
   S: 表示浮点数正负,1为负数,0为正数
   E: 指数加上127后的值的二进制数
   M: 24-bit的底数(只存储23-bit)

   注意:这里有个特例,浮点数为0时,指数和底数都为0,但此前的公式不成立。因为2的0次方为1,所以,0是个特例。当然,这个特例也不用认为去干扰,编译器会自动去识别。

举例1:计算机存储中的二进制数如何转换成实际浮点数
   通过上面的格式,我们下面举例看下-12.5在计算机中存储的具体数据:
   Address+0 Address+1 Address+2 Address+3

   Contents 0xC1 0x48 0x00 0x00
   接下来我们验证下上面的数据表示的到底是不是-12.5,从而也看下它的转换过程。

   由于浮点数不是以直接格式存储,他有几部分组成,所以要转换浮点数,首先要把各部分的值分离出来。

   Address+0 Address+1 Address+2 Address+3

   格式 SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM

   二进制 11000001 01001000 00000000 00000000

   16进制 C1 48 00 00

    可见:

    S: 为1,是个负数。

    E:为 10000010 转为10进制为130,130-127=3,即实际指数部分为3.

    M:为 10010000000000000000000。这里,在底数左边省略存储了一个1,使用实际底数表示为 1.10010000000000000000000

    到此,我们吧三个部分的值都拎出来了,现在,我们通过指数部分E的值来调整底数部分M的值。调整方法为:如果指数E为负数,底数的小数点向左移,如果指数E为正数,底数的小数点向右移。小数点移动的位数由指数E的绝对值决定。

    这里,E为正3,使用向右移3为即得: 1100.10000000000000000000 至次,这个结果就是12.5的二进制浮点数,将他换算成10进制数就看到12.5了,如何转换,看下面:

   小数点左边的1100 表示为 (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20), 其结果为 12 。

   小数点右边的 .100… 表示为 (1 × 2-1) + (0 × 2-2) + (0 × 2-3) + ... ,其结果为.5 。

   以上二值的和为12.5, 由于S 为1,使用为负数,即-12.5 。

   所以,16进制 0XC1480000 是浮点数 -12.5 。

举例2:浮点数转换成计算机存储格式中的二进制数
   举例将 17.625换算成float型。
   首 先,将17.625换算成二进制位:10001.101 ( 0.625 = 0.5+0.125, 0.5即 1/2, 0.125即1/8 如果不会将小数部分转换成二进制,请参考其他书籍)
   再将 10001.101 向左移,直到小数点前只剩一位成了 1.0001101 x 2的4次方(因为左移了4位)。此时我们的底数M和指数E就出来了:

   底数部分M,因为小数点前必为1,所以IEEE规定只记录小数点后的就好,所以此处底数为 0001101 。
   指数部分E,实际为4,但须加上127,固为131,即二进制数 10000011
   符号部分S,由于是正数,所以S为0.

   综上所述,17.625的 float 存储格式就是:

   0 10000011 00011010000000000000000

  转换成16进制:0x41 8D 00 00

  所以,一看,float还是占用了4个字节。

****************************************************************

double在内存中的保存,double是8个字节64位,其中最高位63位是符号位,1表示该数为负,0正;62-52位,一共11位是指数位;51-0位,一共52位是尾数位。

举例3:按照IEEE浮点数表示法,下面将把double型浮点数38414.4转换为十六进制代码。 
         

把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制:960E。小数的处理: 
  0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+…… 
          实际上这永远算不完!这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了(隐藏位技术:最高位的1 
  
  不写入内存)。 
          如果你够耐心,手工算到53位那么因该是:38414.4(10)=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2) 
  科学记数法为:1.001……乘以2的15次方。指数为15! 
          于是来看阶码,一共11位,可以表示范围是-1024   ~   1023。因为指数可以为负,为了便于计算,规定都先加上1023,在这里, 
  
  15+1023=1038。二进制表示为:100   00001110 
          符号位:正——   0   ! 
          合在一起(尾数二进制最高位的1不要): 
  01000000   11100010   11000001   11001101   01010101   01010101   01010101   01010101  

  按字节倒序存储的十六进制数就是: 
  55   55   55   55   CD   C1   E2   40 
         


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