2010年（9）
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2010-05-20 20:41:57
1、自回归模型（AR）
由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：
Xt=φXt-1+εt （2.1.1）
常记作AR(1)。其中｛Xt｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为Xt对Xt－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。
如果Xt 与过去时期直到Xt-p 的取值相关，则需要使用包含Xt－1 ，……Xt-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一般形式为：
Xt=φ1 Xt－1+φ2 Xt－2+…+φp Xt－p+εt （2.1.2）
为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设B为滞后算子，即BXt=Xt-1, 则B(Bk-1Xt)=BkXt=Xt-k B(C)=C(C为常数)。利用这些记号，（2.1.2）式可化为：
Xt=φ1BXt+φ2B2Xt+φ3B3Xt+……+φpBpXt+εt
从而有：
（1-φ1B-φ2B2-……-φpBp）Xt=εt
记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φpBP）,则模型可以表示成
φ（B）Xt=εt (2.1.3)
例如，二阶自回归模型Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）Xt=εt
2、滑动平均模型（MA）
有时，序列Xt的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即
Xt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4)
此模型常称为序列Xt的滑动平均模型，记为MA(q)， 其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。相应的序列Xt称为滑动平均序列。
使用滞后算子记号，（2.1.4）可写成
Xt=（1-θ1B-θ2B2-……- θqBq）qt=θ(B)εt (2.1.5)
3、自回归滑动平均模型
如果序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：
Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+……+φpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.6)
简记为ARMA(p, q)。利用滞后算子，此模型可写为
φ（B）Xt=θ(B)εt （2.1.7）
4、差分自回归移动平均模型
差分自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归, p为自回归项; MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。
ARIMA模型预测的基本程序
(1)根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（2）对非平稳序列进行平稳化处理。如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（3）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
（4）进行参数估计，方法：最小二乘法，最大似然估计等，检验是否具有统计意义。
(5）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。
（6）利用已通过检验的模型进行预测分析。
5.分数差分自回归求和移动平均模型（FARIMA）
同时描述网络流量的长相关和短相关情况。与ARIMA的区别仅在于d=（-0.5，0.5）的取值上，即可取分数。论文：Traffic Prediction Using FARIMA Models
