分类： C/C++
2012-03-22 21:42:24
Q:
（1）给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0？比如：N=10，N！=3628800，N！的末尾有2个0。
（2）求N！的二进制表示中最低位为1的位置。
A:
（1）
考虑哪些数相乘能得到10，N!= K * 10M其中K不能被10整除，则N!末尾有M个0.
对N!进行质因数分解： N!=2X*3Y*5Z…，因为10=2*5，所以M与2和5的个数即X、Z有关。每一对2和5都可以得到10，故M=min(X,Z)。因为能被2整除的数出现的频率要比能被5整除的数出现的频率高，所以M=Z。
解法1：
问题转化为求N!因式分解中5的指数。
int countZero(int N)
{
int ret = 0;
int j;
for(int i=1; i<=N; i++)
{
j = i;
while(0==j%5)
{
ret++;
j /= 5;
}
}
return ret;
}
解法2：
Z =[N/5] + [N/52] + [N/53] + …
[N/5] 表示不大于N的的数中5的倍数贡献一个5, [N/52] 表示不大于N的数中52的倍数在贡献一个5……
int countZero(int N)
{
int ret = 0;
while(N)
{
ret += N/5;
N /= 5;
}
return ret;
}
（2）
把一个二进制除以2的过程如下：
判断最后一个二进制是否为0：若为0将二进制数右移1位，即为商；若为1，则说明这个数是奇数，不能被2整除。
所以判断N!的二进制表示中最低位为1的位置的问题可以转换为求N!中含有质因数2的个数的问题。即位置为N!含有质因数2的个数加1.
解法1：
N!中含有质因数2的个数等于：[N/2]+[N/4]+[N/8]+…
int lowestOne(int N)
{
int ret = 1;
while(N)
{
N >>= 1;
ret += N;
}
return ret;
}
解法2：
N!中含有质因数2的个数等于N减去N的二进制表示中1的数目。
以下为规律的推导：N!中含有2的质因数的个数等于[N/2]+[N/4]+[N/8]+…
对于11011即：1101+110+11+1 = (1000+100+1) + (100+10) + (10+1) + 1=
1000+100+10+1 + 100+10+1 + 1= 1111+111+1 = 10000-1 + 1000-1 + 10-1 + 1-1=
11011-(N的二进制表示中含有1的个数)
