红黑树

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红黑树

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*性质

性质1. 节点是红色或黑色。

性质2. 根是黑色。

性质3. 所有叶子都是黑色（叶子是NIL节点）。

性质4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)

性质5. 从任一节点到其每个叶子的所有简单路径都包含相同数目的黑色节点。

*插入

情况1：插入的是根节点（原树是空树）

此情况只会违反性质2。

解法：直接把此节点涂为黑色

情况2：插入的节点的的父节点是黑色

此时不会违反性质2也不会违反性质4，红黑树没有被破坏。

解法：什么都不做

情况3：当前节点的父节点和叔叔节点都是红色

解法：将当前节点的父节点和叔叔节点涂黑，祖父结点涂红，把当前结点指向祖父节点，从新的当前节点重新开始算法。

情况4：当前节点的父节点是红色,叔叔节点是黑色，当前节点是其父节点的右子

解法：当前节点的父节点做为新的当前节点，以新当前节点为支点左旋

情况5：当前节点的父节点是红色,叔叔节点是黑色，当前节点是其父节点的左子

解法：父节点变为黑色，祖父节点变为红色，在祖父节点为支点右旋

*删除

从红黑树上删除一个节点，可以先用普通二叉搜索树的方法，将节点从红黑树上删除掉，然后再将被破坏的红黑性质进行恢复。

我们回忆一下普通二叉树的节点删除方法：Z指向需要删除的节点，Y指向实质结构上被删除的结点，如果Z节点只有一个子节点或没有子节点，那么Y就是指向Z指向的节点。如果Z节点有两个子节点，那么Y指向Z节点的后继节点（其实前趋也是一样的），而Z的后继节点绝对不可能有左子树。因此，仅从结构来看，二叉树上实质被删除的节点最多只可能有一个子树。

现在我们来看红黑性质的恢复过程：

如果Y指向的节点是个红色节点，那么直接删除掉Y以后，红黑性质不会被破坏。操作结束。

如果Y指向的节点是个黑色节点，那么就有几条红黑性质可能受到破坏了。首先是包含Y节点的所有路径，黑高度都减少了一（第５条被破坏）。其次，如果Y的有红色子节点，Y又有红色的父节点，那么Y被删除后，就出现了两个相邻的红色节点（第４条被破坏）。最后，如果Y指向的是根节点，而Y的子节点又是红色的，那么Y被删除后，根节点就变成红色的了（第２条被破坏）。

其中，第５条被破坏是让我们比较难受的。因为这影响到了全局。这样动作就太大太复杂了。而且在这个条件下，进行其它红黑性质的恢复也很困难。所以我们首先解决这个问题：如果不改变含Y路径的黑高度，那么树的其它部分的黑高度就必须做出相应的变化来适应它。所以，我们想办法恢复原来含Y节点的路径的黑高度。做法就是把Y节点的黑色，推到它的子节点X上去。（X可能是NIL节点）。这样，X就可能具有双重黑色，或是同时具有红黑两色，也就是第１条性质被破坏了。

但第１条性质是比较容易恢复的：一、如果X是同时具有红黑两色，那么好办，直接把X涂成黑色，就行了。而且这样把所有问题都解决了。因为将X变为黑色，２、４两条如果有问题的话也会得到恢复。二、如果X是双黑色，那么我们希望把这种情况向上推一直推到根节点（调整树结构和颜色，X的指向新的双黑色节点，X不断向上移动），让根节点具双黑色，这时，直接把X的一层黑色去掉就行了（因为根节点被包含在所有的路径上，所以这样做所有路径同时黑高减少一，不会破坏红黑特征）。

下面就具体地分析如何恢复1、２、４三个可能被破坏的红黑特性：我们知道，如果X指向的节点是有红黑两色，或是X是根节点时，只需要简单的对X进行一些改变就行了。要对除X节点外的其它节点进行操作时，必定是这样的情况：X节点是双层黑色，且X有父节点P。由知可知，X必然有兄弟节点W，而且这个W节点必定有两个子节点。（因为这是原树满足红黑条件要求而自然具备的。X为双黑色，那么P的另一个子节点以下一定要有至少两层的节点，否则高黑度不可能和X路径一致）。所以我们就分析这些节点之间如何变形，把问题限制在比较小的范围内解决。另一个前提是：X在一开始，肯定是树底的叶节点或是NIL节点，所以在递归向上的过程中，每一步都保证下一步进行时，至少 X的子树是满足红黑特性的。因此子树的情况就可以认为是已经正确的了，这样，分析就只限制在X节点，X的父节点P，X的兄弟节点W，以及W的两个子节点。这些个节点中。

W以及W的两个子节点C1和C1的一共有五种组合，便有两种情况的处理是一致的，因此调整的过程可以分以下四个情况：

第一种情况：W是红色节点

 

如上图，如果W是红色的，那么B和D节点进行一次左旋，并把D（也就是原来的W）着为黑色，B节点（X的父节点）着为红色。然后让W指向X的新兄弟。这样，就把这种情况转化为了W为黑色的情况来解决。在这个变形中，这五个节点之间保持了红黑性质不变，而X指向的双黑色节点的位置和颜色特性都没有变化。变形后的情况如何解决呢？下面的都是W为黑色的问题，因此下面三种中总有一种会合适。

PS：有没有其它变形呢？有，比如C和D进行右旋，B节点变为红色，变形后五个节点红黑正确的，但是这五个节点与树的其它部分相接处可能会产生问题，这样要考虑的因素就太多了。

 

第二种情况：W以及W的两个子节点都是黑色的

 

 

如上图，注意，B即可以是红色也可以是黑色。

这种情况下，把D节点着成红色。然后把X的一个黑色推到父节点B中去，这时X就指向B节点了。变形前后，这五个节点间的黑高是没有变化的。

唯一可能产生问题的就是如果B原来是红色，那么B和D两个红色相邻就破坏了第４个性质，这样新X的子树就有问题了。这本来不符合我们向上递归的假设。但正好在这种情况下递归就可以结束了。因为B节点原来是红色，现在双加一层黑色，那么X现在指向的这个节点就是红黑两色的，直接把X（也就是B）着为黑色。问题就已经完整解决了。

如果B节点现在是双层黑色，那就以B为新的X进行向上的下一次的递归。

 

第三种情况：W的左子节点是红色的且右子节点是黑色。

 

 

  如上图，B即可以是黑色也可以是红色。

  把C和D进行一次旋转，改变C和D的颜色变形成新的结构。把问题转化成W的右子节点为红色的情况来解决。注意，原来C是红色的，所以C的子节点一定是黑色的，所以旋转中C节点的一个子树挂到之后着为红色的D节点上不会破坏红黑性质。变形后黑高度不变。

 

  第四种情况：W的右子节点是红色（左子节点可以是红色或黑色）

 

 

  如上图，B节点可以是红色或是黑色。

  将B和D进行一次左旋，并交换两者的颜色。再将E着为黑色。这时，只要将X的一层黑色脱去，整个问题也得到了解决。递归结束。（在代码上，为了标识递归结束，我们把X指向根节点）

 

  因此，只要按上面四种情况一直递归处理下去，X最终总会指向根结点或一个红色结点，这时我们就可以结束递归并把问题解决了。

  以上就是红黑色的节点删除过程。